Los matemáticos por fin descubren 'el sombrero', un patrón que no se repite

Quién no ha crecido rellenando las hojas de una libreta encadenando formas con un mismo patrón. Pues resulta que eso mismo a lo que te dedicabas en clase cuando no prestabas atención también ha tenido entretenidos a los matemáticos desde siempre. Si los mosaicos que surgen a partir de puras fórmulas numéricas nos dejan embobados, más lo ha hecho el misterio opuesto: ¿Existe alguno cuyo patrón no se repita nunca? La respuesta es que sí, pero llegar a ella ha sido sin duda el problema más desafiante.

Ahora, los matemáticos ya pueden cantar victoria: una forma de 13 lados conocida a la que han apodado "el sombrero" les tiene patas arriba. Es el primer ejemplo real de un "einstein", o lo que es lo mismo: una forma única que genera un mosaico especial de un plano con la capacidad de cubrir una superficie completa sin espacios ni superposiciones solo con un patrón que nunca se repite.

TE PUEDE INTERESAR

El cisma que dividió a los matemáticos de medio mundo: ¿todos los infinitos son iguales?

Álvaro Hermida

Desde el suelo de un baño alicatado hasta los panales de abejas, la geometría nos envuelve. Cada mosaico que se haya registrado hasta la fecha se ha repetido eventualmente, pero eso puede cambiar. Identificado por David Smith, un matemático no profesional que se describe a sí mismo como un "jugueteador imaginativo de formas", el sombrero tiene características especiales.

Lo llaman "einstein"

Así lo hicieron saber en un artículo publicado el pasado 20 de marzo en arXiv.org. El sombrero incluye, de hecho, un montón de formas de cometas más pequeñas pegadas. Se trata de un tipo de forma que no se había estudiado de cerca en la búsqueda de algún "einstein", según apunta Chaim Goodman-Strauss, del Museo Nacional de Matemáticas en la ciudad de Nueva York, a Smithsonian.

Aunque el nombre "einstein" evoca al físico icónico, en este caso proviene del alemán ein Stein, que significa "una piedra", en referencia a la idea de una baldosa, en este caso escurridiza, sin repeticiones. El "einstein" se encuentra en un extraño limbo entre el orden y el desorden, ya que aunque los mosaicos encajan perfectamente y pueden cubrir un plano infinito, son aperiódicos, lo que significa que no pueden formar un patrón que se repita.

De esta forma, con un patrón periódico, es posible cambiar los mosaicos y hacer que coincidan perfectamente con su disposición anterior. Como sugieren desde Science News, un tablero de ajedrez infinito, por ejemplo, se ve igual si deslizas las filas de dos en dos. "Si bien es posible organizar otras fichas individuales en patrones que no son periódicos, el sombrero es especial porque no hay forma de que pueda crear un patrón periódico".

Una forma bastante simple

Los patrones repetidos tienen simetría traslacional, lo que significa que puede cambiar una parte del patrón y se superpondrá perfectamente con otra parte, sin rotar ni reflejarse. La forma descrita en un nuevo artículo no tiene simetría traslacional: cada sección de su mosaico se ve diferente de cada parte que se encuentra antes. Los matemáticos sabían previamente de mosaicos no repetitivos que involucraban múltiples mosaicos de diferentes formas. En la década de 1970, de hecho, el matemático Roger Penrose ya descubrió que solo dos formas diferentes formaban un mosaico que no es periódico.

Compuesto de ocho cometas, o polígonos de cuatro lados con dos pares de lados adyacentes de igual longitud, mantiene cierto parecido con un sombrero de fieltro

Sin embargo, los científicos seguían esperando algo mucho más complejo, y nada más lejos de la realidad. Compuesto de ocho cometas, o polígonos de cuatro lados con dos pares de lados adyacentes de igual longitud, mantiene cierto parecido con un sombrero de fieltro. Chaim Goodman-Strauss, matemático de la Universidad de Arkansas y uno de los autores del artículo, apunta que si le hubieran pedido que adivinara cómo se vería la forma antes del hallazgo, "habría dibujado algunos una cosa loca, serpenteante y repugnante".

La matemática Sarah Hart, investigadora en Birkbeck, Universidad de Londres, señala que este nuevo hallazgo podría conducir a investigaciones de ciencia de materiales. "Por ejemplo, las formas que forman mosaicos que no se repiten podrían ayudar a diseñar materiales más fuertes" y, por supuesto, abrir nuevas puertas a la inspiración.