3n+1, el problema simple que puede convertirte en un matemático pringado

Elige un número natural (entero y positivo). Si es impar, multiplícalo por 3 y súmale 1 (con lo que acabarás con un número par). Si el número en cuestión es par, simplemente divídelo por 2. Da igual (hasta donde llega el conocimiento actual de las matemáticas), siempre acabarás en un patrón, el 4-2-1-4. Dicho de otro modo, para cualquier número 'n', el problema 3n+1 (conocida como conjetura de Collatz) acaba en 1. Sencillo, ¿verdad? La cosa es que no existe ninguna prueba de que eso sea así. De momento se cumple, pero nadie puede probar que así sea.

La idea que hace aparentemente racional este problema, es que, a pesar de que existan la misma cantidad de números pares e impares, cuando multiplicamos un número impar por 3 y sumamos 1, siempre acabamos con un número par, que se divide por dos. Eso supone que no se triplica el resultado, sino que este aumenta 'solo' 3/2), pero las probabilidades de que un número par, al partirlo por 2 se convierta en impar son del 50%, mientras que existe un 25% de probabilidades de que puedas dividirlo por 4 antes de llegar a un impar, un 12,5% de que puedas dividirlo por 8... y así sucesivamente. Eso significa que, de media, por cada paso, multiplicas por 3/4, lo que es menor que 1, por lo que es más probable que los números disminuyan, a que aumenten.

"Las matemáticas, a día de hoy, no están lo suficientemente maduras para tales preguntas"

Solo existen dos opciones que pudiesen desmontar esta teoría. La primera es que existe un número que siempre creciese, llegando hasta el infinito. La segunda opción es que exista un conjunto de números que formen un bucle cerrado, similar a 4-2-1-4, y que cada uno de esos números sea completamente ajeno a al conjunto de los demás. Claro está, a día de hoy, no hemos descubierto ninguno.

Y no es porque no lo hayamos intentado. Lo ideal sería encontrar una elegante regla matemática que probase definitivamente que no existe número alguno que no acabe en el bucle 4-2-1-4 o, que sí exista algún número que sus características particulares le permitan escapar de esa aparente gravitación matemática hacia la unidad. Lo menos ideal, es aplicar fuerza bruta. Si no encontramos ninguna elegante prueba matemática, podemos recorrer, uno por uno los números naturales hasta encontrar alguno que no encaje, y eso es lo que hemos hecho. A día de hoy, se han analizado (gracias a los ordenadores, claro), todos y cada uno de los números enteros hasta 268. Dicho de otro modo: entre los 295.147.905.179.352.825.856 números naturales. Y no hay manera, todos ellos cumplen esta regla no escrita de las matemáticas. Eso no significa que el siguiente cumpla la regla. En el inmenso e infinito mar del conjunto de los números enteros, 268 no es más que un simple y diminuto vaso de agua.

Lo más curioso de este problema es que, a diferencia de otros que han tardado siglos en responderse (como el último teorema de Fermat), este está 'prohibido' en el mundo de las matemáticas. Si eres un chaval que acaba de salir de la carrera, más te vale no admitir, de ninguna manera, que estás trabajando en él, y dios te libre de publicar un trabajo sobre este problema, dado que tu carrera podría irse al garete.

El famoso matemático húngaro Paul Erdös afirmó, refiriéndose a la Conjetura de Collatz, que "las matemáticas, a día de hoy, no están lo suficientemente maduras para tales preguntas". Por otra parte, el matemático estadounidense (aunque nacido en la Unión Soviética) Alex Kontorovich explica en una entrevista que "entre los matemáticos profesionales, la conjetura de Collatz no es famosa, sino infame. Si alguien admite en público que está trabajando en ella, eso significa que algo malo pasa con ese matemático".

"Es lo más cerca que alguien puede llegar a confirmar la conjetura de Collatz sin resolverla"

Solo los matemáticos con una carrera ya bien establecida tienen 'permiso' para trabajar en él (por supuesto, los jóvenes también trabajan en la conjetura de Collatz, solo hace falta decirle a un postadolescente que no haga algo para que lo haga). Uno de ellos es el matemático australiano Terry Tao, uno de los mejores matemáticos vivos, ganador de la Beca MacArthur, de la Medalla Fields y del Premio Crafoord (considerado el 'Nobel de las matemáticas', aunque sin ninguna relación con esos famosos premios, por supuesto).

En septiembre de 2019, Tao publicó sus resultados de años de trabajo en 3n+1, que supusieron un avance y que, en sus propias palabras, "es lo más cerca que alguien puede llegar a confirmar la conjetura de Collatz sin resolverla". La idea es que se prueba que "casi todos los números naturales responden a la conjetura de Colletz", lo que solo es prueba de que sea lo más lógico que sea cierta, pero solo hace falta un número para desmontar estos 80 años de trabajo.

"Casi ningún número" no significa nada. Pongamos el caso de los cuadrados perfectos. Entre 1 y 10, el 1, el 4 y el 9 son cuadrados perfectos, eso supone que el 10% de los números cumplen esta regla. Pero entre 1 y 100, solo 10 números lo son (10%); entre 1 y 1.000, solo 31 (3,1%)... y este número se hace cada vez más y más pequeño. Técnicamente, sabemos que existen un número infinito de cuadrados perfectos, pero el porcentaje de ellos presentes tiende a uno cuando el conjunto se aproxima al infinito. "Casi ningún número es un cuadrado perfecto" es una afirmación casi igual de válida.

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Por otro lado, nos encontramos con otros teoremas que han necesitado de mucha más fuerza bruta para resolverse. La conjetura de Pólya, propuesta en 1919 por el matemático húngaro George Pólya afirmaba que, para cualquier número 'X' dado, la mayor parte de los números naturales 'n' menores que 'x' (más del 50%) tienen una cantidad impar de factores primos. La hipótesis fue probada falsa en 1958 por el matemático británico Colin Brian Haselgrove, que propuso un contraejemplo (un número X que incumplía la regla) situado alrededor del 1.845 x 10361; un número tremendamente mayor que el mundano 268 propuesto para la conjetura de Collatz.

Pero la conjetura de Collatz tiene un atractivo tremendo: 120 millones de yenes (844.560 €) ofrecidos en 2021 por la empresa Bakuage, situada en el barrio de Shibuya en pleno centro de Tokyo, en Japón. Eso, sumado a la recompensa económica de los innumerables premios y reconocimientos que el matemático en cuestión obtendría sacarían a cualquiera de la pobreza por el resto de su vida. La cuestión es... ¿y si le dedicas tu vida a un problema imposible?