El cisma que dividió a los matemáticos de medio mundo: ¿todos los infinitos son iguales?

Hoy en día puede parecer una tontería, dado que a los chavales en los institutos, cuando las Matemáticas todavía son obligatorias, ya se les enseña, hasta cierto punto, que no todos los infinitos tienen el mismo tamaño. Esto se da acompañado de tres conceptos clave: las funciones, las indeterminaciones y el concepto de límite. Podemos ver claramente que un infinito elevado al cubo es mayor que un infinito a secas, aunque no podamos comprender exactamente por qué esto es verdad.

Pero de explicarlo ya se encargó el matemático alemán (aunque natural de San Petersburgo), Georg Cantor. Esta mente brillante, aunque muy desconocida fuera de los círculos matemáticos, fue el inventor de la teoría de conjuntos (aunque también se la conoce como teoría de sets, debido a que esa es su definición anglosajona). Esta nueva idea matemática puede parecer una tontería a primera vista: un conjunto es cualquier agrupación de cosas o números que quieras. Por ejemplo, todos los zapatos del planeta son un conjunto, al igual que lo son todos los tornillos o todos los números naturales. Al mismo tiempo, cada una de esas cosas pueden pertenecer a dos conjuntos diferentes, lo que se conoce como la intersección de dos conjuntos: las zapatillas de jugar al golf forman parte del conjunto de zapatos, así como del conjunto de ropa.

"Las generaciones futuras considerarán la teoría de conjuntos como una enfermedad de la que uno se ha recuperado"

Por supuesto, la moda zapatera no era lo que ocupaba la mente de Cantor. Él, en lo que estaba realmente interesado, era en los conjuntos de números, clasificados hoy en día como N (naturales, números enteros positivos), Z (números enteros, tanto positivos como negativos), Q (racionales, números, tanto positivos como negativos, que tengan una cantidad finita de decimales), R (reales, en los que los puestos decimales pueden ser infinitos) y C [complejos, aquellos que incluyen el número i (i²=-1)].

Cada uno de esos grupos incluye los anteriores (N forma parte de R, pero R no forma parte de N, Z, o Q). Lo que se preguntó Cantor fue: "¿Hay más números naturales (N) entre 1 e infinito que números reales (R) entre 0 y 1?".

La respuesta a esta pregunta, a primera vista, parece ser clara: hay un número infinito de números naturales y un número infinito de números reales entre 0 y uno, así que existen la misma cantidad de cada uno de ellos, fin de la historia. Pero aquí es donde Cantor le dio una vuelta de tuerca extra: imaginemos que (a pesar de ser imposible en un entorno real) hemos anotado en un papel infinito, separado en dos columnas, todos los números naturales, entre 1 e infinito, y a cada uno de ellos les corresponde, en la segunda columna, uno de los números reales, infinitamente largos. ¿Podemos encontrar un número real que no esté en la lista?

El método que se le ocurrió a Cantor fue coger el primer puesto decimal del primer número de la lista, el correspondiente a N=1, y sumarle 1 (si el primer número era 0,8753..., anotaremos 0,9). Para el segundo puesto decimal recurriremos a N=2, tomaremos prestado su segundo puesto decimal y le añadiremos 1 (si el segundo número real era 0,423..., anotaremos un 3). Continuaremos haciendo eso una y otra vez añadiendo 1 al número que toque (si es un 9, anotaremos un 0). Así nos aseguraremos de que, cuando hayamos acabado, el nuevo número real que obtengamos no esté presente en ningún puesto de la lista, dado que difiere de todos los números ya presentes, como mínimo, en un dígito.

"Nadie, nunca, nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado"

Con esto, Cantor probó que no todos los infinitos eran iguales, sino que unos eran mucho más grandes que otros. Georg Cantor definió los diferentes tipos de infinidades como contables y como incontables, lo que abría, junto a los avances matemáticos hechos (principalmente) por Carl Friedrich Gauss y Nikolái Lobachevski sobre las geometrías no euclidianas (un asunto para otro artículo radicalmente distinto) nuevos campos masivos de las matemáticas, y que probaban que algunas cosas que dábamos por sentadas a mediados del siglo XIX no eran verdad.

Esto no se lo tomaron nada bien los miembros de uno de los dos grupos filosóficos de los matemáticos. Estos eran los intuicionistas, enfrentados directamente a los formalistas (de los que Cantor formaba parte). Los avances matemáticos hechos por Gauss, Lobachevski y Cantor ponían en serio riesgo esta rama de las matemáticas. Los intuicionistas creían que las matemáticas eran una creación absolutamente pura de la mente humana y que el trabajo de estos matemáticos era una perversión, una corrupción de las matemáticas, como si estos trabajos le estuvieran otorgando un carácter propio y determinista a esta área científica, alejada de los designios del ser humano.

Uno de los principales representantes de los intuicionistas, el matemático francés Jules Henri Poincaré, afirmó a finales del siglo XIX que "las generaciones futuras considerarán la teoría de conjuntos como una enfermedad de la que uno se ha recuperado". Por su parte, el matemático prusiano Leopold Kronecker se refirió a Georg Cantor, en relación con sus infinidades contables e incontables, como un "charlatán científico que corrompe la mente de la juventud con sus ideas". También (en lo que hoy está demostrado que es una limitación de su visión científica) expuso claramente el punto de vista de los intuicionistas: "Dios hizo los números enteros, todo lo demás es trabajo del hombre".

Por supuesto, esta guerra trascendió las barreras de las matemáticas. El filósofo austriaco Ludwig Josef Johann Wittgenstein afirmó que el trabajo de Cantor había provocado que "el campo puro de las matemáticas esté plagado de los lenguajes perniciosos de la teoría de conjuntos, que son un completo sinsentido, casi cómicos y, simplemente, erróneos".

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Por el otro lado, Cantor no estaba solo, ni mucho menos. Los formalistas eran sus aliados y el más importante de ellos era el matemático alemán David Hilbert (una de las mentes matemáticas más importantes de la historia). Hilbert fue, en vida, una auténtica leyenda viva. Trabajó e hizo avanzar todas y cada una de las áreas de las matemáticas. No solo eso, sino que también hizo avances en ciencias más terrenales como la física, avanzando en la teoría de la relatividad general (aunque Albert Einstein se le adelantó, pero no por mucho).

Para Hilbert (y para el resto de los miembros de los formalistas), las nuevas áreas de las matemáticas propuestas por Georg Cantor, Gauss y Lobachevski, en vez de incordiarles, resultaron ser un soplo de aire fresco que abría incontables nuevas vías para avanzar en el terreno matemático. En palabras del propio David Hilbert: "¡El infinito! Ninguna otra cuestión ha motivado tan profundamente el espíritu del hombre". Del mismo modo, también tenía palabras para su colega matemático que pronunció durante una conferencia en la Universidad de Göttingen: "Nadie, nunca, nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado".

Todo sea dicho, la teoría de conjuntos recibió en los años posteriores un gran varapalo que se tuvo que remediar con reglas especiales. Esto involucraba a los conjuntos que se incluyen a sí mismos. Así como la paradoja de Epiménides ("todos los cretenses son unos mentirosos"), en la teoría de conjuntos también se podían dar paradojas autorreferenciales. En el caso del filósofo griego (que era cretense), la idea es que si todos los cretenses mienten, esa afirmación es mentira, por lo que los cretenses no mienten, por lo que la afirmación es verdad, por lo que es mentira... En el caso de los conjuntos es algo más complicado: ¿qué ocurre con R el conjunto de todos los conjuntos que no se incluyen a sí mismos? Si R no se contiene a sí mismo, entonces debe contenerse a sí mismo, lo que a la vez implica que no puede contenerse a sí mismo... Vamos, una paradoja matemática. Este problema es conocido como la paradoja de Russell, en honor de su descubridor, el matemático y filósofo británico Bertrand Russell.

Russell publicó su paradoja en 1901, pero, en realidad, matemáticos del bando de los formalistas ya sabían de su existencia. El matemático alemán Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo dio con ella dos años antes, en 1899, pero no lo publicó, dado que sabía la repercusión que tendría esto para su bando, con lo que solo se lo comentó a sus compañeros de la Universidad de Göttingen (Hilbert y Husserl). Pero esto ya llegaba tarde. A principios de la década de los años 90 del siglo XIX, el propio Cantor escribió una carta a Hilbert explicándole por qué la teoría de conjuntos podía desembocar en una paradoja.

A pesar del regocijo que sintieron los intuicionistas con este descubrimiento, sus archienemigos salieron al quite con rapidez con una regla que puede parecer absolutamente arbitraria, pero que, a fin de cuentas, funciona: el conjunto de todos los conjuntos no es un conjunto, así como tampoco lo es el conjunto de todos los conjuntos que no se incluyen a sí mismos.

Los formalistas ganaron. Cierto es que a los intuicionistas no les quedó ningún clavo ardiendo al que atenerse. Durante los siguientes 30 años, los avances matemáticos se sucedieron con tal rapidez gracias a las geometrías gaussianas y a la teoría de conjuntos que ya no existía discusión posible. Georg Cantor murió en 1918 a los 72 años de edad en un hospital psiquiátrico de la ciudad de Halle. Como explica el autor Joseph W. Dauben en un artículo publicado en el Harvard University Press, las enormes críticas recibidas "provocaron que Cantor desarrollara varios episodios de depresión, aunque es posible que también padeciera algún tipo de enfermedad maníaco-depresiva".

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A pesar de esto, su trabajo llevó a Hilbert a desarrollar el cálculo de Hilbert, un sistema de prueba matemático (lo que viene a ser un nuevo lenguaje, regido por reglas concretas) diseñado para probar las tres grandes características de lo que David Hilbert consideraba que serían unas matemáticas puras: que son completas, consistentes y decidibles. Las tres reglas (de las que ya hablaremos otro día) resultaron ser erróneas, pero la demostración de esos errores son los causantes de que usted esté leyendo estas líneas en un ordenador o en su teléfono móvil.