¿Por qué es tan común compartir cumpleaños con amigos? Hay una teoría detrás de la casualidad

No es nada raro compartir cumpleaños con personas de nuestro entorno, especialmente si se trata de amigos. De hecho, esta peculiar casualidad puede ser más habitual de lo esperado. Y no, no tiene nada que ver con la conexión que guardes con esa persona; el asunto es, más bien, matemático.

Lo llaman la paradoja del cumpleaños, y resulta uno de los problemas más intrigantes y fascinantes en el campo de la probabilidad. Pero, ¿por qué? Pues bien, porque plantea la pregunta de cuántas personas deben estar reunidas en una habitación para que haya al menos un 50% de probabilidad de que dos personas cumplan años el mismo día. La respuesta tiene su intríngulis, y te parecerá tan sorprendente como contraria a la intuición.

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Si haces memoria, raro es que no te vengan recuerdos de dos compañeros de clase cumpliendo el mismo día cuando ibais a la escuela, o incluso que tu propio día coincidiera con el de alguno de ellos. Por supuesto, y sobre todo cuando se es pequeño, esto puede no llevarse del todo bien: ¿Que otra persona te robe la mitad del protagonismo? Maldición. No obstante, lo cierto es que a medida que creces la curiosidad acabará con tu ego.

Ilustrando la probabilidad

Introducido por el matemático estadounidense Martin Gardner en un artículo titulado "Juegos matemáticos" que escribió para la revista Scientific American en 1957, el concepto de la paradoja del cumpleaños llegó como un problema divertido para ilustrar el concepto de probabilidad y mostrar cómo los resultados a veces puede ser contrario a la intuición. Una herramienta poderosa, vamos, para que luego digan que las matemáticas no sirven en el día a día.

Desde entonces, esta cuestión se ha convertido en un problema popular para niños y mayores que ofrece una visión estadística de la realidad. Además, otros autores también han desarrollado variaciones del problema para explorar ideas relacionadas, como las leyes de probabilidad acumulada y la teoría de juegos.

Aprendida la historia, vayamos por partes: el número total de días en un año puede variar entre 365 o 366 para años bisiestos, pero consideraremos el primero como estándar. Asimismo, el número de personas reunidas en un espacio puede variar mucho más. Si consideramos que cada persona tiene las mismas posibilidades de cumplir años en cualquier día del año, la fórmula es la siguiente: [(365!)/((365^n)(365-n)!)]

Este es el "truco"

En ella, "n" sería el número de personas en el grupo y "!" significa "factorial", es decir, la multiplicación de todos los números enteros del 1 al n. Para entenderlo, ten en mente a un par de personas. La probabilidad de la que pende el cumpleaños de la primera persona es de 1/365, porque hay 365 fechas posibles. Por su parte, la probabilidad de que el segundo individuo tenga la misma fecha de cumpleaños también es 1/365.

Con esto, para calcular la probabilidad de que al menos dos personas cumplan el mismo día, necesitamos encontrar la probabilidad de que dos personas tengan fechas diferentes para cada posible par de personas en el grupo, teniendo en cuenta que hay un (n-1)/2 pares de personas en el grupo. Así, para el grupo de dos personas, la probabilidad de que tengan cumpleaños diferentes queda de la siguiente forma:

[(365!)/((365^2)(365-2)!)] = 1 – (364/365) = 0,00274

En palabras, esto significa que la probabilidad de que al menos dos personas en un grupo de dos tengan el mismo cumpleaños es de aproximadamente 0,27% . Para un grupo mayor de (n) personas, la fórmula se vuelve más complicada, pero sigue la misma lógica y, por supuesto, la probabilidad aumenta rápidamente con el número de individuos en el grupo.

Mediante dicha fórmula también encontrarás que se necesitan unas 23 personas en la sala para que haya un 50% de posibilidades de que dos personas cumplan años el mismo día. Este resultado muestra cuán contrarias a la intuición pueden ser las probabilidades. En realidad, los fenómenos aparentemente aleatorios pueden predecirse con precisión utilizando modelos matemáticos.