Siete enigmas matemáticos que valen un millón de dólares (II)

Esta es la segunda parte de un artículo sobre los Problemas del Milenio. Si se perdió la primera, puedeleerla aquí. De nuevo, pedimos a los lectores persistencia y valor. No se dejen intimidar por las matemáticas, que vistas de cerca no son tan bravas. Con la ayuda de Eduardo Sáenz de Cabezón, profesor de Matemáticas y Computación de la Universidad de La Rioja y divulgador y monologuista científico, prometemos una explicación para todos los públicos.

Grigori Perelman es seguramente una de las figuras más reconocidas de lasmatemáticas modernas. Este matemático rusoes hasta ahora el único que ha logrado resolver uno de los llamados Problemas del Milenio, una hazaña con mayúsculas dentro de su disciplina.

Resolver uno de estos problemas no solo es complejo por su dificultad, sino porque la solución propuesta pasa un implacable escrutinio y debe sobrevivir dos años sin ser desafiada antes de ser considerada como válida. Una vez logrado, eso sí, el reconocimiento de la comunidad científica es sincero y unánime. Una Medalla Fields y un millón de dólares son la parte material del premio.

Un reconocimientoque a Perelman no pudo interesarle menos. El 18 de marzo de 2010, el Instituto Clay de Matemáticas anunció que su solución cumplía con los requisitos para recibir el premio, pero el rechazo del ruso fue implacable: "No quiero estar expuesto como un animal en un zoológico. No soy un héroe de las matemáticas. Ni siquiera soy tan exitoso. Por eso no quiero que todo el mundo me esté mirando". Su nombre quedará siempre ligado al de la genialidad matemática, pero él prefirió seguir llevando una vida discreta y retirada. Y sin su millón de dólares.

En las últimas semanas, otro matemático, el kazajoMujtarbay Otelbáyev, ha publicado lo que podría ser una solución parcial a la ecuación Navier-Stokes, pero su trabajo tiene por delante un largo camino antes de ser considerado un desarrollo válido. De momento, se ha topado con un obstáculo inesperado: Otelbáyev ha explicado su solución en ruso, y la comunidad matemática trabaja principalmente en inglés, de forma que antes de poder comprobarla, habrá que traducirla. No se trata de un aspecto menor, ya que las matemáticas son un idioma universal, pero el razonamiento tras las fórmulas es igualmente importante.

Explicamos a continuación los últimos tres Problemas del Milenio, incluidos el resuelto por Perelman (la conjetura de Poincaré)y el que podría haber contribuido a solucionar Otelbáyev (las ecuaciones de Navier-Stokes).

Debido a que este problema está resuelto, el hecho es que ya no se trata de la conjetura de Poincaré, sino del teorema de Poincaré. Si alguien no tiene muy clara la diferencia entre una conjetura y un teorema, podríamos decir, igual que dice el propio Sáenz de Cabezón en este monólogo, que un teorema es "para siempre, siempre".

"Esta conjetura se sitúa en una de las ramas más hermosas de las matemáticas, conocida como topología, que se ocupa de estudiar aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que se mantienen cuando los estiramos, deformamos, doblamos, etc. como si fueran de plastilina, pero sin romperlos ni pegarlos por ningún sitio. Es lo que técnicamente se conoce como transformaciones continuas", explica Sáenz de Cabezón.

Una de las cuestiones principales en topología es el problema de la clásificación de losobjetos: para la topología, una taza y una rosquilla son equivalentes, porque si fueran de plastilina se podría transformar una en otra sin romperlas; sin embargo, un churro y una rosquilla no lo son, porque un churro de plastilina no puede convertirse en una rosquillasin romperlo ni pegarlo.

Esto puede parecer un juego, o algo absurdo, pero, tal y como ocurre muchas veces con las matemáticas, los problemas y objetos de los que se ocupa la topología describen de modo sorprendentemente adecuado los objetos de estudio de otras ciencias. En concreto, la topologíase relaciona con la física yelestudio del universo.

HenriPoincaré fue uno de los fundadores de la topología, y uno de los que sentó sus bases fundamentales. La conjetura que lleva su nombre dice literalmente que "toda variedad de dimensión n, cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera de dimensión n". Que no cunda el pánico, vamos a explicarlo.

Lo que dijo Poincaré es que la esfera tiene, en cualquier dimensión, una serie de características (como ser cerrada y sin agujeros) que solo las tiene la esfera, y cualquier otro cuerpo que las tenga será equivalente topológicamente (eso es lo que quiere decir "homeomorfa") a una esfera.

Esta conjetura fue enunciada en 1904, y desde entonces se había conseguido probar para n=2, después para n mayor que 4 y más tarde para n=4. El caso de n=3 se resistió durante más de cien años.

Como pasa tantas veces, la solución llegó utilizando herramientas nuevas y procedimientos de otras áreas de las matemáticas que parecían no tener relación con el problema original

Entonces, en 2006, Perelman culminó el trabajo que otros habían realizado antes, resolviendo no solo la conjetura de Poincaré en el único caso que faltaba y convirtiéndolaen teorema, sino una cuestión más general, llamadael teorema de geometrización de Thurston. "Como pasa tantas veces, la solución llegó utilizando herramientas nuevas y procedimientos de otras áreas de las matemáticas que parecían no tenerrelación con el problema original", señana Sáenz de Cabezón.

Es difícil atribuir la solución de un problema tan importante a una sola persona. Lo que Perelman consiguió fue poner la última pieza del puzzle, que dio sentido al cuadro completo. "Su aportación fue decisiva, lo que demuestra el genioque es, pero este, como todos en matemáticas, es un resultado esencialmente colectivo".

Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben este nombre porque fueron propuestas por el hidrólogo e ingeniero Claude-Luis Navier a principios de siglo XIX y formuladas rigurosamente por el matemático y físico Geoge-Gabriel Stokes unos cincuenta años después.

Resumiendo, podríamos decir que estas ecuaciones son un modelo matemático sencillo para describir el movimiento de un fuido incompresible (es decir, que su densidad es constante) y viscoso (es decir, que las distintas capas del fuido ejercen cierta fuerza unas sobre otras, que se arrastran entre sí).

Para ello, estas fórmulas tienen en cuenta las variables que describen el fluido y sus condiciones iniciales: la velocidad a la que se mueven sus partículas, la presión, la densidad y la viscosidad, así como las fuerzas externas que puedan afectarle, como por ejemplo la de la gravedad. También tienen en cuenta las condiciones del contorno del fluido, como por ejemplo el recipiente que lo contiene o si está metido en otro fluido con el que no se mezcla (como ocurriría si echásemos gotas de aceite en un vaso de agua).

Lo que hacen estas ecuaciones es, a partir de esas condiciones iniciales, tratar de describir la trayectoria que seguirán las partículas del fluidosometidas a las diferencias de presión, así como a las fuerzas que ligan a unas partículas con otras.

El problema consiste en saber si las ecuaciones de Navier-Stokes tienen siempre solución, sean las que sean esas condiciones iniciales o si hay algún caso en el no pueden ser resueltas. No se trata de evaluar si el modelo desarrollado por Navier y Stokes se adecúa a la realidad, sino de determinar si es matemáticamente consistente

"El problema consiste en saber si las ecuaciones de Navier-Stokes tienen siempre solución, sean las que sean esas condiciones iniciales, o si hay algún caso en el que estas ecuaciones no pueden ser resueltas. No setrata de evaluar si el modelo desarrollado por Navier y Stokes se adecúa a la realidad, sinode determinar si es matemáticamente consistente", puntualiza Sáenz de Cabezón.

Existen soluciones parciales a este problema: se sabe que las ecuaciones tienen respuesta en general cuando se utilizan en dos dimensiones, y también que tienen soluciones débiles, es decir, que explican el movimiento de un fluido en promedio, pero no necesariamente punto por punto, que funcionan bien durante un tiempo si las condiciones iniciales son suficientemente buenas.

Se ha trabajado mucho en este problema, y ha habido avances importantes, entre ellos el de Mujtarbay Otelbáyev, pero parece que la solución completa, por el momento, se escapa.

Este problema resulta especialmente complejo, ya que en él se mezclan las matemáticas y la física teórica, aunqueno es ni mucho menos la primera vez:"La física ha utilizado y desarrollado teorías matemáticas fundamentales para explicar y construir sus modelos: por ejemplo, el desarrollo del cálculo tal y como lo conocemos hoyfue parejo a la explicación newtoniana de la realidad, y la geometría basada en los desarrollos de Riemann fue desarrollada y explicada al amparo de la teoría de la relatividad general de Einstein", explica Sáenz de Cabezón.

La física ha utilizado y desarrollado teorías matemáticas fundamentales para explicar y construir sus modelos: por ejemplo, el desarrollo del cálculo tal y como lo conocemos hoy en día fue parejo a la explicación newtoniana de la realidad

Esta es la época de la física cuántica, que también necesita un desarrollo matemático de primer orden para poder asentarse y describir de un modo riguroso los fenómenos que trata de explicar. Aquí es donde entran en escena las ecuaciones de Yang Mills.

Este conjunto de ecuaciones, conocido también como la teoría de Yang-Mills, es el modelo matemático que subyace al modelo estándar de la física de partículas. Se trata de una generalización de la teoría de la electrodinámica cuántica, que es a su vez una generalización de la teoría del electromagnetismo , publicada porel británico James Clerk Maxwell a mediados del siglo XIX.

La cuestión es que esta teoría tiene un problema por resolver en lo que se refiere a la masa, que ha heredado de esos otros modelos. En la teoría de la electrodinámica cuántica, las partículas importantes son los fotones, que no tienen masa.Sin embargo, las partículas responsables de la fuerza nuclear débil, los bosones W y Z, sí que tienen masa e interaccionan con los fotones. ¿Cómo podían interaccionar partículas con y sin masa?

La teoría que desarrollaron el chino Chen Ning Yang y el estadounidense Robert Millslogró una explicación para esas interacciones débiles que era compatible con la electrodinámica cuántica ya establecida. Se consideró un gran logro de la física, y se bautizó con el nombre de teoría electrodébil.Pero lo que no se ha conseguido todavía es hacer lo mismo con las interacciones fuertes.

El problema que persiste en torno a las ecuaciones de Yang-Mills es doble: por un lado, lograr demostrar de modo matemáticamente riguroso los fundamentos de la teoría deYang-Mills, y por otro, hacer que esta teoría sea completamente compatible, para todas las interacciones, con el papel de la masa, lo que se llama el salto de masa.

"Las dificultades son muchas, y se han dado avances en la descripción de la teoría de Yang-Mills que la conviertenen una descripción plausible de los modelos físicos actuales. Pero hoy por hoy no existen las herramientas para solucionar el salto de masa. Hacen falta nuevas ideas que entren en este ámbito para acercarnos a una solución", asegura Sáenz de cabezón.