Siete enigmas matemáticos que valen un millón de dólares (I)

Comenzamos este artículo con una petición a nuestros lectores: no se desanimen, sigan leyendo. La investigación matemática parece intimidante para los que tenemos una formación limitada en este campo, pero no hay por qué arredrarse. Prometemos una explicación para todos los públicos, y los enlaces aportarán más información a quien quiera seguir profundizando. Para no extendernos más allá de lo razonable, hemos decidido publicar este artículo en dos partes. Aquí está la primera, vuelvan a por la segunda.

Cuenta la leyenda que Alfred Nobel no contempló en su testamento la creación de un premio para los matemáticos porque el amante de su mujer era un matemático y les tenía algo de manía. Lo únco cierto de esta historia, sin embargo, es que efectivamente no existe un premio Nobel de Matemáticas. Por lo demás, lo cierto es que Nobel nunca llegó a casarse.

A falta de un Nobel, la Unión Matemática Internacional concede cada cuatro años la Medalla Internacional para Descubrimientos Sobresalientes en Matemáticas, o Medalla Fields. No es nada fácil ganar una: como decimos, se otorga cada cuatro años y solo a matemáticos menores de 40 años que hayan logrado avances fundamentales en la disciplina. Su prestigio, obviamente, es enorme.

Cada vez que un equipo logra un avance significativo en uno de los problemas, lo publica de forma que toda la comunidad lo compruebe, lo valide y lo incorpore a sus desarrollos. Más que el reconocimiento, es una carrera por el progreso colectivo de las Matemáticas

Una de las formas de obtenerla automáticamente es dar con la solución parauno de los llamados Problemas del Milenio, los siete enigmas matemáticos que el Instituto Clay enunció en el año 2000 como los más importantes por resolver enla disciplina. Una Medalla Fields y un millón de dólares como recompensa se otorgarán al que consiga resolver cada uno de ellos. De eso hace ya 14 años y, oficialmente, solo uno ha sido resuelto (aunque puede que la respuesta parcial a otro haya sido también formulada recientemente).

Y no será porque no se intenta:matemáticos de instituciones de todo el mundo trabajan en estos problemas, incluidos muchos españoles. Cada vez que un equipo logra un avance significativo, lo publica de forma que toda la comunidad lo compruebe, lo valide y lo incorpore a sus desarrollos. No se trata solo de reconocimiento personal, esto es una carrera colectiva por el progresode las matemáticas.

Pero se trata de una carrera con muchosobstáculos porque son cuestiones muy complejas, que involucran a muchas áreas de la disciplina al mismo tiempo y requieren de años de investigación.

En Teknautas hemos contado con la ayuda de Eduardo Sáenz de Cabezón, profesor de Matemáticas y Computación de la Universidad de la Rioja (y un magnífico divulgador, así lodemuestransus monólogos científicos como parte de The Big Van Theory) para explicar, uno a uno y para todos los públicos, cuáles son estos Problemas del Milenio y por qué, si consigues resolverlos, merecerás sin duda un millón de dólares.

"El problema de P vs. NP trata, básicamente, de saber si hay problemas intrínsecamente difíciles o simplemente es que no hemos dado con una buena forma de resolver cualquier problema", explica Sáenz de Cabezón.

El problema de P vs. NP trata, básicamente, de saber si hay problemas intrínsecamente difíciles o simplemente es que no hemos dado con una buena forma de resolver cualquier problema

Comencemos por lo básico: ¿qué es un problema? Se considera un problema a la relación entre un conjunto de entradas (o instancias) y un conjunto de salidas (o soluciones). La especificación del problema, es decir, sus instrucciones, nos dice cómo debe ser esa relación.

Se llama conjunto de problemas P a aquellos para los que existe un modo eficiente (conocido y con una serie de pasos determinada) de encontrar una solución. El conjunto de problemas NP, por su parte, está formado por aquellos para los que existe un método eficaz de verificar que una respuesta es, efectivamente, una solución.

Si se puede encontrar una solución fácilmente, entonces se podrá verificarfácilmente. Eso quiere decir que los problemas que forman parte del grupo P, también forman parte del grupo NP. Lo que no se sabe es si dentro de NP hay problemas que no estén dentro de P.

A simple vista, los matemáticos consideran que la respuesta es sí, queel conjunto NP contiene problemas que no están en P, pero desde que los matemáticos Stephen Cook y Leonid Levin plantearon este problema en 1971, nadie lo ha podido demostrar.

"La conjetura de Hodge es el problema de representabilidad de clases de homología para variedades complejas. Esto probablemente no le dice nada a nadie que no sea matemático y esté metido en alguna de las áreas a las que afecta esta conjetura", reconoce Sánz de Cabezón, antes de comenzar su explicación

La primera característica de este problema, planteado por el escocés William Hodge como resultado de sus trabajos en los años 30 y 40,es precisamenteque afecta a varias áreas de las matemáticas. Otra es que, a diferencia del anterior problema, no hay una idea muy clara sobre si la conjetura es cierta o no, ynadie sabe por dónde puede venir la solución.

Para explicar esta cuestión, hay que remontarse a la Antigüedad. Desde los griegos, las matemáticas se han construido basándose en varios conceptos fundamentales. Dos de ellos son la generalización y la abstracción, que muchas veces van de la mano.

Según avanzaba la comprensión de la lógica que rige las matemáticas, los estudiosos fueronutilizando clases de números cada vez más generales: los naturales (para contar), los enteros (que incluyen a los negativos), los racionales (que incluyen las fracciones), los reales (que incluyen aquellos con infinitos decimales), los complejos (que incluyen raíces cuadradas de números negativos), y otras aún más elaboradas. Cada unade esas clases engloba a todas las anteriores.

El estudio de las formas, la geometría, también se generalizó. Estetratamiento cada vez más abstractofacilita que haya herramientas para tratar números y formas de manera conjunta, viéndolos a ambos como variaciones de entidades aún más abstractas.Cuando las cosas se ponen muy generales, surgen conceptos como las variedades complejas ola homología de esas variedades. Estas abstraccionessirven para describir de una vez objetos muy diferentes, para comprenderlos mejor y hacer cálculos con ellos.

La conjetura de Hodge, de ser cierta, probaría que hay un camino a un nivel muy profundo entre muchas ramas de las matemáticas que, hasta ahora, parecen conectadas solo parcialmente

"Demostrar la conjetura de Hodge probaría que hay un camino a un nivel muy profundo entre muchas ramas de las matemáticas que, hasta ahora, parecen conectadas solo parcialmente". Eso permitiría intercambiar técnicas que hasta ahora se aplican solo en uno u otro campo por separado, y podrían atacarse problemas muy difíciles usando técnicas más sencillas.

Si la conjetura de Hodge es cierta, el edificio de las matemáticas tendría un nuevo pasillo en una de sus zonas centrales, lo que daría una visión más acertada del mapa global. Si fuese falsa, significaríaque ese pasillo no existe, que solo hay pequeños pasillos conectando algunas de esas áreas, lo que también serviría para tener una visión más exacta del edificio global.

La conjetura que lanzaron los británicos Bryan Birch y Peter Swinnerton-Dyer a principios de los 60 es un problemasobre ecuaciones. Todos conocemos las ecuaciones: las estudiamos en el colegio, y están allá donde se quiera modelizar un proceso o una estructura utilizando las matemáticas.

Hay ecuaciones sencillas, como 3x-1=2 que se resuelven fácilmente (en este caso, x=1). Pero enseguida las ecuaciones demuestran que pueden ocultar misterios aunque su apariencia sea inofensiva. Por ejemplo, la ecuación x+2=1 no tiene soluciones positivas, y la ecuación 2x+1=0 ni siquiera tiene soluciones enteras.De hecho, hay ecuaciones que tienen más de una solución. Por ejemplo, x²-2=0 tiene dos soluciones posibles, y ninguna es un número entero. Y una ecuación en apariencia sencilla como x²+1=0 no tiene siquiera soluciones entre los números reales, para encontrarlas tendríamos que ir a los números complejos.

Todo cambia cuando en una ecuación hay más variables, como por ejemplo xy+x-2y=0. El mundo de las ecuaciones de varias variables es muy complicado. Cuando hay más de dos, es muy difícil saber en la mayoría de los casos cuántas soluciones tiene, ni siquiera si tiene un número finito o infinito de ellas

En muchos casos es posible saber cuántas soluciones tiene una ecuación: el número viene dado por el máximo exponente al que aparezca elevada la x. Por ejemplo,la ecuación x³-x²+x=0 tiene exactamente tres soluciones. Esto se conoce como el teorema fundamental del álgebra.

Todo cambia cuando en una ecuación hay más variables, como por ejemplo xy+x-2y=0. El mundo de las ecuaciones de varias variables es muy complicado. Cuando hay más de dos, es difícil saberen la mayoría de los casoscuántas soluciones tiene, ni siquiera si tiene un número infinito de ellas.

Quedan entonces por explicar las ecuaciones que tienen exactamente dos variables. Pero antes, hay que fijarse en otro concepto más: el del grado de una ecuación, que es la suma de los exponentes a los que están elevadas sus variables. Por ejemplo, la ecuación x³-xy+xy³+1=0 es de grado 4, que es el grado del término xy³.

Los matemáticos se preguntan qué ecuaciones tienen soluciones racionales. Yla respuesta depende del grado de la ecuación.

Para las ecuaciones de dos variablesde grado 2 o menorhay un método específico de descubrir si la ecuación tiene soluciones racionales o no. Este método funciona siempre y en un número determinado de pasos.Cuando el grado es tres o más, conocemos un método que también funciona, pero nadie ha podido demostrar que funcione siempre.

En cuanto al número de soluciones, y suponiendo que unaecuacióntiene al menos una solución racional, las de grado 2 o menor tienen un número infinito de soluciones, mientras que las de grado 4 o mayor tienen un número finito de soluciones. Las de grado 3 son el caso difícil, ya que pueden tener un número finito o infinito de soluciones.

Ha habido, como es de esperar, muchos intentos de resolver esta conjetura, y se ha conseguido demostrar para algunos casos particulares, pero nadie lo ha conseguido en general, y las vías tradicionales para acometerlo se están agotando

Ese es precisamente el caso en el que se mueve la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer: las ecuaciones de dos variables yde grado 3que tienen al menos una solución racional. A esas ecuaciones se las conoce como curvas elípticas, y esta conjetura describe explícitamente la estructura que tiene el conjunto de sus soluciones.Una descripciónque, además, resulta tener una forma sorprendente, ya quedepende del comportamiento en torno al número 1 de una función analítica, algo que pertenece a otra área totalmente distinta de las matemáticas.

La solución a esta conjetura, asegura Sáenz de Cabezón,resolvería de un plumazo un problema muy difícil, dándole una respuestacompleta y elegante, conectando además dos esquinas de las matemáticas muy diferentes entre sí.

"Ha habido, como es de esperar, muchos intentos de resolver esta conjetura, y se ha conseguido demostrar para algunos casos particulares, pero nadie lo ha conseguido en general, y las vías tradicionales para acometerlo se están agotando. Es probable que la solución acabe llegando por una nueva línea revolucionaria y sorprendente, como pasa muchas veces en las matemáticas", explica Sáenz de Cabezón.

David Hibert fue uno de los matemáticos más importantes del siglo XIX y principios del XX. En una ocasión, declaró que si le diesen la oportunidad de volver a la vida dentro de 500 años, lo primero que preguntaría sería: "¿Ha resuelto alguien la hipótesis de Riemann?".

"Este problema parece algo en principio bastante críptico. La hipótesis en crudo es la siguiente: la parte real de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann es siempre½. En seguida vamos a entrar en materia, pero comenzamos explicando que es una de esas cuestiones que, por alguna razón profunda pero difícil de explicar, es importante para la construcción del edificio matemático", comenta Sáenz de Cabezón.

Los intentos por demostrarla han sido muchos, y las evidencias a su favor también lo son: se ha determinado, con ayuda de un ordenador, que los primeros 10 trillones de ceros no triviales de esta función satisfacen la hipótesis de Riemann, pero eso no es una demostración. Quizá más adelante aparezca algún cero no trivial que no satisfaga la hipótesis. No se sabrá hasta que haya una demostración a favor o en contra

En el siglo XIX, el alemán Bernhard Riemann extendió a los números complejos una famosa función que el suizo Leonhard Euler había construido para los números reales, definiendo así lo que hoy se llama función zeta de Riemann. Riemann se dedicó a estudiarpara qué valores esa función se anula, se hace cero. Existen infinitos ceros;por ejemplo, todos los números pares anulan la función zeta de Riemann, así que son ceros de esa función. Son los llamados ceros triviales.

Pero existen muchos otros ceros no triviales, que son los números que el matemático quería encontrar. Logró hallar muchas propiedades que un número complejo debía cumplir para ser un cero no trivial.

Los números complejos tienen una parte real y otra imaginaria; Riemann observó que los ceros no triviales de su función tenían una parte real cercana a ½, y que ésta se distribuía de forma simétrica en torno a la recta de valor½. Asíque conjeturó que la parte real de todo cero no trivial de su función equivalía exactamente a ½, pero no pudo probarlo.

Los intentos de demostrarla han sido muchos, y las evidencias a su favor también lo son: se ha determinado, con ayuda de un ordenador, que los primeros 10 trillones de ceros no triviales de esta función satisfacen la hipótesis de Riemannpero no es suficiente. Quizá más adelante aparezca algún cero no trivial que no satisfaga la hipótesis. No se sabrá hasta que haya una demostración a favor o en contra.

¿Y por qué tanta fascinación? ¿Qué tiene de especial esa función zeta y sus ceros para que la mayoría de los matemáticos considere tan importante si su parte real vale½ o no? La respuesta está en los números primos.

Los números primos son las piezas fundamentales del conjunto de los números enteros, son los ladrillos de oro de la base del edificio de las matemáticas. Y son un misterio. Por más que se ha intentado hallar una fórmula que los describa y permita saber con toda certeza dónde aparecerá el próximo número primo, estos siempre se han escabullido.

La función zeta de Riemannconstituye una especie de norma que apunta a la comprensión del comportamiento de estos números."La cantidad de resultados que dependen de esta hipótesis es inmensa, la luz que arrojaría sobre las matemáticas es incalculable. Por eso se afirma tantas veces que es el problema matemática abierto más importante que existe", concluye Sáenz de Cabezón.