Cuatro problemas matemáticos que parecen sencillos pero nadie ha podido resolver

Cualquiera que haya pasado por los años de educación obligatoria no podrá recordar cuántos problemas matemáticos tuvo que resolver para hacerlo. Varias decenas, seguramente. Quien después optase por seguir por la rama científica, podrá decir que llegaron a cientos los problemas que tuvo que leer, pensar y resolver.

Algunos problemas llevan décadas e incluso siglos negando a los matemáticos ese último paso, el de su solución. Un ejemplo son los Problemas del Milenio, consideradas siete de las cuestiones más importantes por resolver de las matemáticas. Con un millón de dólares como recompensa por cada uno, solo uno de ellos ha sido solucionado hasta ahora.

Pero no todos los enigmas numéricos tienen enunciados tan complejos como esos siete problemas. Algunas de las conjeturas que ocupan a los matemáticos desde hace décadas parecen mucho más sencillas, y aun así su solución se resiste. Estas son algunas de ellas, por si alguien quiere coger el testigo de los matemáticos más brillantes.

La conjetura de Goldbach

La conjetura de Goldbach se planteó originalmente en una carta que Goldbach envió a Euler en 1742, y fue considerado por G. H Hardy como el problema más difícil de la historia de la ciencia. Aunque no lo parece. Este es su enunciado actual:

Todo número par mayor que 2 puede ser escrito como la suma de dos números primos.

Teniendo en cuenta que un número primo es aquel que solo es divisible entre 1 y entre sí mismo, algunos ejemplos de esto serían 8 = 3 + 5; 20 = 13 + 7; 554 = 331 + 223. En los tres se cumple el enunciado, y lo mismo ocurre, se cree, con cualquier número primo.

De hecho, con todos los que se ha probado. Por ello, la mayoría de los matemáticos presuponen que la conjetura es cierta, porque no se ha encontrado ningún ejemplo que la contradiga, y eso que se ha probado, gracias a técnicas computacionales,con todos los números pares inferiores al trillón. Pero al existir infiniros números pares mayor podría haber algún número aún mayor para el que no se cumpla.

Existe otra conjetura de Goldbach, llamada la conjetura 'débil' de Goldbach, demostrada por el matemático peruano Harald Gelfgott en 2013, que dice que:

Todo número impar mayor que 5 puede expresarse como la suma de tres números primos

Eso significa, por ejemplo, en 7 = 3 + 2 + 2; o que 9 = 3 + 3 + 3. Se le añadió el adjetivo de débil porque la demostración de la teoría 'fuerte' de Goldbach, o teoría de Goldbach a secas, suponía la demostración de esta otra, la 'débil', pero no ocurre lo mismo al contrario, y de hecho esta segunda, ya demostrada, ha adquirido la categoría de axioma, mientras su hermana 'fuerte' sigue a la espera.

La conjetura de los primos gemelos

Otro problema con un enunciado que parece fácil de confirmar o descartar, pero que ha resultado no serlo y que lleva siglos intrigando a los matemáticos es el de la conjetura de los números primos gemelos. Fue enunciado de forma más general por Alphonose de Polignac en 1849, y su planteamiento actual es este:

Existen infinitas parejas de primos gemelos

Dos números primos son además gemelos si están separados solo por dos unidades. Así, son primos gemelos el 3 y el 5, y el 11 y el 13. Pues este problema conjetura que existen infinitas parejas de este tipo de números, y los científicos no saben todavía si esto es cierto o no, aunque llevan décadas tratando de averiguarlo.

Intuitivamente parece lógico pensar que no lo es, puesto que cuanto más subimos en los números, menos densa es la presencia de números primos, y por tanto parece poco probable que sigan apareciendo dos números primos tan seguidos. Pero hasta la fecha se han encontrado parejas de primos gemelos tan altos que transcribirlos en este artículo sería muy poco práctico (cuenta aquí Ignacio Munguía que la pareja más alta conocida tiene 100.355 dígitos), así que los matemáticos se inclinan a pensar que es cierta, aunque no han podido demostrarlo aún.

La conjetura de Collatz

La conjetura de Collatz parece tan sencilla que podría tratarse de un problema de matemáticas escolares, y sin embargo, lleva sin solución desde que la propuso Lothar Collatz en 1937. Se conoce también como la conjetura 3n+1, porque el enunciado es el siguiente:

Con un número entero positivo, divídelo entre 2 si es par o multiplícalo por 3 y súmale 1 si es impar. Con el resultado, realiza la misma operación, según sea par o impar, y así sucesivamente. Da igual el número con el que empieces, siempre terminarás con los mismos tres resultados: 4, 2 y 1.

Por ejemplo, si partimos de 6 los resultados son 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Si partimos de 21 son 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1. Algunas secuencias requieren muchos pasos, y otras muy pocas, pero todas parecen terminar igual. Decimos "parecen" porque aunque no se ha encontrado todavía ningún ejemplo que lo desmienta, tampoco hay una demostración de que todos los casos se cumplan.

La conjetura de los números perfectos impares

Se llaman números perfectos a los números naturales que son resultado de sumar los números positivos entre los que se puede dividir. El 6 es el primer número perfecto, porque es el resultado de sumar 1 + 2 + 3, que son también los números entre los que se puede dividir. El siguiente es el 28, divisible entre 1, 2, 4, 7 y 14, y resultado de sumar esos mismos números.

Hay varias cuestiones en torno a este tipo de números que todavía están por resolver. Hasta ahora se conocen solo 49 números perfectos que se han ido descubriendo poco a poco, así que los matemáticos se preguntan si hay infinitos de ellos o si en algún momento será imposible encontrar más.

Ninguno de esos 49 números perfectos es impar, así que otra cuestión abierta es si hay números perfectos que lo sean. Aunque la pregunta está sin resolver, se conocen algunas respuestas parciales: de haberlo, tendrá que ser mayor a 10³⁰⁰ y entre los números entre los que se pueda dividir tendrá que haber al menos ocho números primos distintos (y al menos once si no es divisible entre 3), entre otras condiciones.