cálculos en la vida cotidiana

Matemáticas en tus zapatos: hay casi dos billones de formas de atarse los cordones

Una zapatilla estándar tiene doce ojales dispuestos en dos hileras opuestas por los que pasa un cordón en dos direcciones posibles. Echamos las cuentas

Foto: Matemáticas en tus zapatos: hay casi dos billones de formas de atarse los cordones

Las matemáticas son para muchos una ciencia algo antipática. Aunque todos hemos tenido algún contacto con ellas, aunque solo fuese en los años escolares, y convivimos con ellas a diario en forma de cuentas para llegar a fin de mes, las miramos con desconfianza porque a veces resultan crípticas, áridas y tan abstractas que no sabríamos por dónde acometerlas si quisiéramos intentarlo.

Pero al igual que la física o la química, lo cierto es que las matemáticas están por todas partes en nuestra vida diaria y hay muchas formas de perderles el miedo. Podemos empezar por atarnos los cordones de las zapatillas.

No es una broma. Hay muchas matemáticas tras el sistema más universal de sujeción para los zapatos. Al fin y al cabo, se trata de pasar un cordón por una serie de agujeros en distintas combinaciones. ¿Cuántas hay? ¿Y cómo se calculan? Esto es matemática pura.

En un zapato medio con seis pares de ojales hay casi dos billones de formas distintas de hacer pasar un cordón a través de todos los ojalesIan Fieggen es un neozelandés residente en Australia al que esta cuestión le fascina. Tiene una web dedicada a la diversión, la moda y la ciencia de los cordones. Desde luego, es una afición peculiar, pero gracias a él sabemos que, desde el punto de vista matemático, hay casi dos billones de formas distintas de atarse unos zapatos.

“En un zapato medio con seis pares de ojales hay casi dos billones de formas distintas de hacer pasar un cordón a través de todos los ojales”. El señor Fieggen se ha entretenido haciendo los cálculos para llegar a esta cifra.

Una explicación matemática

Teniendo en cuenta que por cada ojal el cordón puede ir en dos direcciones (de abajo arriba o al revés), y que hay 12 ojales por los que empezar, ya tenemos de partida 24 posibilidades. Toca elegir otro de los 11 ojales para continuar, que también tienen dos direcciones. Esto supone 24x22=528 opciones distintas. Fieggen sigue añadiendo ojales para terminar concluyendo que el número total de posibilidades es exactamente 1.961.990.553.600.  

Vamos con una explicación matemática para esa cifra, con la ayuda de Eduardo Sáenz de Cabezón, profesor de Matemáticas y Computación de la Universidad de la Rioja.

Cogemos la lista de los ojales y la numeramos del 1 al 12. Una forma de enlazar el cordón es pasarlo por cada uno de ellos en orden. Esa forma, explica Sáenz de Cabezón, podríamos escribirla de la siguiente manera:

1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12

Otra forma  sería empezar por el 12, y a partir de ahí empezar otra vez por el 1, luego el 2, luego el 3, etc, hasta llegar al 11. Cualquier orden en el que escribamos los números del 1 al 12 es equivalente a un recorrido del cordón por todos los ojales. “Las posibles reordenaciones de los números del 1 al 12 se llaman permutaciones, y el número total de ellas es igual a 12 factorial, escrito en matemáticas así: 12!”.

La forma de llevar a cabo ese cálculo es multiplicando cada número del 1 al 12 por todos los demás, es decir que:

12!=12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 

“Como tenemos dos formas de elegir cada número, en ese cálculo hay que sustituir cada uno de ellos por el doble. Esto se llama el doble factorial de 12 y se denota así: 12!!”.

De forma que la cuenta final sería la siguiente:

24x22x20x18x16x14x12x10x8x6x4x2=1.961.990.553.600.

Ese es el número total de combinaciones posibles que podemos lograr pasando un solo cordón por 12 ojales.

Dos entre dos billones

Claro que en la práctica, a la hora de atarse unas zapatillas, no todas esas combinaciones son prácticas ni cómodas. De hecho, para empezar habría que reducir el número a la mitad ya que habrá dos versiones de cada una, una con los cordones introducidos de arriba hacia abajo y otra en sentido contrario.

Por un lado, para que el cordón cumpla su utilidad ambos extremos deberían terminar sobresaliendo por los ojales superiores, así como recorrer de forma alternativa ambos lados, para sujetarlos bien cerrados. Además, debería pasar por cada ojal solo una vezPero hay otras consideraciones a tener en cuenta. Por un lado, para que el cordón cumpla su utilidad ambos extremos deberían terminar sobresaliendo por los ojales superiores, así como recorrer de forma alternativa ambos lados, para sujetarlos bien cerrados. Además, debería pasar por cada ojal solo una vez.

Resulta que no solo Fieggen le ha dedicado a este asunto cierto tiempo y atención. En el año 2002, nada menos que la revista Nature publicaba un artículo del matemático australiano Burkard Polster (que posteriormente publicó un libro sobre el mismo tema) en el que estudiaba esta cuestión, despertando mucho interés, y por qué no decirlo, muchas sonrisas. Según sus cálculos, el número de combinaciones posibles y prácticas de atarse los cordones no llega ni mucho menos a los dos billones, pero no deja de ser sorprendente: 43.200.

No contento con sus cálculos, Polster se preguntaba cuáles de estas posibilidades son más adecuadas, es decir, cuáles sujetan ambos extremos con más fuerza requiriendo la menor longitud de cordón. Y la respuesta fue que los dos extremos más comunes son los mejores para la tarea.

Si los ojales están muy juntos y ambas solapas del zapato muy separadas, una disposición en doble cruce (en azul en la ilustración) es la más eficaz. Con ello, el cordón hace un recorrido corto y prieto, ejerciendo toda la tensión en sentido horizontal, manteniendo el zapato cerrado.

Si los ojales están más separados entre sí, es más eficaz una distribución en zigzag (en rojo) en la que el extremo inferior del cordón recorre toda la superficie para volver a salir por el agujero superior (para que nos entendamos, la forma es similar a una N cruzada por varios tramos horizontales). Esta disposición ejerce presión tanto en horizontal como en vertical, aunque más ligera.

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