EXTRAÍDO DEL ÚLTIMO LIBRO DE ALEX BELLOS

El problema de los 'runners': ¿eres capaz de resolver este difícil acertijo matemático?

En su último libro, el popular divulgador recoge algunos interesantes problemas, como este, que pone a prueba nuestra capacidad de solucionar enigmas en apariencia fáciles

Foto: Costance y Dafne, dos mujeres y un destino. (iStock)
Costance y Dafne, dos mujeres y un destino. (iStock)

Una de las paradojas de Zenón más célebres es la de Aquiles y la tortuga. En ella, el héroe mítico competía contra un quelonio, al que proporcionaba una amplia ventaja inicial. Cuando Aquiles echaba a correr y llegaba hasta el punto en el que estaba la tortuga, por muy rápido que fuese, esta ya había avanzado un poco más. Cuando volvía a correr hasta el lugar en el que la tortuga se encontraba, esta se había vuelto a mover, por lo que, por muy rápido que fuese Aquiles y por muy lenta que fuese la tortuga, jamás era capaz de alcanzarla.

Esta historia parece ser la inspiración para el problema de los corredores que aparece en el último libro de Alex Bellos, y que ha sido recogido en 'The Guardian'. Bellos es uno de los divulgadores matemáticos más populares del Reino Unido, y gracias a él hemos conocido algunos acertijos célebres, como el de la familia de Cheryl. Además, también nos ha enseñado por qué el número siete es de verdad nuestro número preferido.

Acaba de publicar ahora “Can You Solve My Problems? A casebook of ingenious, perplexing and totally satisfying puzzles” (Guardian Faber Publishing), en el que aparece este enigma. ¿Te atreves a resolverlo?

Planteamiento

Constance y Dafne corren una maratón, en la que recorren 26,2 kilómetros [hemos decidido convertir las cifras a nuestro sistema métrico ya que es indiferente para el resultado final]. Constance corre a una velocidad constante de un kilómetro cada ocho minutos. Dafne corre a diferentes velocidades, con rápidos acelerones y secciones más lentas, y tarda ocho minutos y un segundo en cubrir cada kilómetro. En otras palabras, en cada kilómetro (el primero, el último o, digamos, el intervalo que hay entre el kilómetro 13,6 y el 14,6), Constance tardará ocho minutos y Dafne un segundo más.

¿Es posible que Dafne pueda ganar la carrera?

¿Quién ha ganado? (iStock)
¿Quién ha ganado? (iStock)

Solución

La lógica parece indicar que es imposible que Dafne gane la carrera. Pero, como suele ocurrir con esta clase de acertijos basados en contradecir nuestra primera impresión, la respuesta es la opuesta a la (aparente) lógica: , sí puede ganar la carrera.

¿Por qué? Examinemos en primer lugar lo que parece de cajón. Si Dafne es siempre un segundo más lenta, sea cual sea la sección de la carrera que elijamos, parece totalmente imposible que pueda adelantar a su competidora. Es “lógico”: siempre será un segundo más lenta. Por lo tanto, si sumamos un segundo perdido por cada kilómetro, al final de la carrera habrá perdido ya 26.

En la milla 26, Dafne estará 26 segundos por detrás de Constance, pero en los últimos 200 metros puede acelerar y correr en un minuto y nueve segundos

Sin embargo, si seguimos esa lógica, estamos pasando por alto el dato más importante que nos da Bellos: que Dafne corre a velocidades variables. Por esa razón, tan solo en el caso de que la maratón tuviese un número redondo de kilómetros, ganaría Constance en todos los casos, ya que no conocemos la velocidad media que ha mantenido Dafne. Tan solo sabemos lo que tarda en recorrer cada kilómetro.

Por eso, a lo largo de la carrera habrá momentos en los que Dafne adelante a Constance, y en los que quede por detrás. Tan solo es en la marca de cada kilómetro (una, dos, tres… o 26, pero no 26,2) cuando sabemos con seguridad que Constante va a estar por delante. Sin embargo, es posible que en esos 200 metros restantes, Dafne haya pegado su acelerón. Es más fácil de entender si se observa el gráfico que el propio Bellos introduce en su libro:

Según vemos en este cuadrante, Dafne puede estar corriendo primero a gran velocidad, y luego bajar el ritmo, quizá para descansar antes del siguiente acelerón. Como se puede ver, todos los kilómetros son iguales, y al coger cualquier sección al azar, esta comprende exactamente ocho minutos y un segundo. Si el acelerón se sitúa al principio de cada bloque, Dafne habrá llegado antes que Constance a la meta… y, si cogemos la sección final de la carrera (del kilómetro 25,2 al 26,2) habrá tardado exactamente ocho minutos y un segundo, por lo que encajará en las reglas del juego.

Un ejemplo definitivo proporcionado por un lector de 'The Guardian' llamado Richard Wilkinson: si Dafne tarda un minuto y nueve segundos en recorrer 200 metros a toda velocidad, tiene seis minutos y 52 segundos para recorrer los restantes 800, a un ritmo más lento. En el kilómetro 26, estará 26 segundos por detrás de Constance, pero en los últimos 200 metros volverá a correr en un minuto y nueve segundos, mientras que si hacemos la operación relacionada con la velocidad de Constance (1 km / 8 minutos = 200 metros / 1,6 minutos, es decir, 1 minuto y 36 segundos), veremos cómo Dafne no solo puede recuperar los 26 segundos que le saca Constance, sino que además, la adelantará por un segundo en la photo finish

Alma, Corazón, Vida

El redactor recomienda

Escribe un comentario... Respondiendo al comentario #1
1 comentarios
Por FechaMejor Valorados
Mostrar más comentarios