¿Conoces el teorema del mono infinito?

Diez curiosidades científicas sobre el infinito que quizá no sabías

Existen varios tipos de infinitos, unos más grandes que otros, pero todos igual de rebeldes ante las teorías matemáticas

Foto: Michael Kai/Corbis
Michael Kai/Corbis

Matemáticas, filosofía, lógica y teología son disciplinas del conocimiento humano que se entrelazan en muchos de sus conceptos hasta el punto de que cuesta diferenciar en qué punto termina una y empieza la siguiente. 

Durante siglos, el infinito se asoció a la idea de Dios, lo único que el hombre se había acostumbrado a entender como algo sin fin. La asociación era tan potente que Georg Cantor, matemático del siglo XIX, sufrió el rechazo de sus colegas y sus propios conflictos personales al tratar de arrojar algo más de luz sobre el concepto de infinito.

Para la mayoría, el infinito es una idea que tratamos levemente en las clases de matemáticas en el colegio y que después hemos incorporado a nuestro día a día en su aspecto más pedestre: poco más que una expresión exagerada cuando queremos decir que algo es muy largo, muy grande o muy alto. Detrás de esa coletilla hay sin embargo un concepto complejo con el que distintas ciencias lidian de una forma u otra. 

1. ¿Es infinito un número?

Infinito es un concepto abstracto que tiene implicaciones en distintas áreas del conocimiento humano, como la filosofía, las matemáticas o la física. Concretamente en matemáticas a veces se emplea como un número (se utiliza en algunas operaciones o como forma de contar objetos) pero no se puede incluir en otros conjuntos numéricos, como el de los enteros o los naturales, porque se comporta de forma totalmente diferente a todos ellos cuando se somete a las operaciones matemáticas más básicas.

2. El infinito no crece

Parece obvio, pero no está de más recordarlo porque a veces nos cuesta imaginarlo: el infinito no tiene fin. Infinito no significa grande, enorme o gigante. No hay en nuestro mundo cotidiano nada así, así que solemos imaginarnos, por ejemplo, que nos movemos por el espacio en línea recta y que nunca llegamos al punto donde nos detenemos, o un objeto (un número o el universo) que crecen sin parar. Pero no es exactamente así. No es que algo se haga infinito, es que es infinito. 

3. Cosas que ocurren al operar con el infinito

Estos son algunos ejemplos de ese comportamiento diferente: si sumas infinito más uno, la solución sigue siendo infinito, igual que si se lo restas. Cuando algo no tiene fin, eso no cambia por muchas unidades que sumes o restes.

Otra lección que nos enseñan en el colegio es que cualquier número dividido por infinito es cero. No es exactamente así, pero sirve para entender el concepto

Otra lección que nos enseñan en las matemáticas del colegio es que cualquier número dividido por infinito tiene como resultado el número cero. Esto no es exactamente así, ya que se trata de una indeterminación, aunque sirve para entender el concepto. Si al dividir un número cualquiera (en este caso uno) entre una cantidad cada vez más alta, el resultado es cada vez más pequeño, al dividirlo entre infinito, que es el número más alto, el resultado tenderá a ser lo más pequeño posible, es decir, cero.

¿Y si se divide infinito entre infinito? Ya que la división de cualquier número entre sí mismo es igual a uno, podríamos pensar que este caso será igual, pero no lo es. La respuesta es que esa operación es otra indeterminación, y este es el motivo: no todos los infinitos son iguales, y puesto que es imposible saber con qué tipos de infinitos estamos operando, es imposible saber cuál sería el resultado.

4. Aquiles, la tortuga y el infinito

Como tantos otros conceptos matemáticos, el del infinito le debe mucho a los filósofos griegos. El primer problema en torno al infinito que se conoce es la fábula de Aquiles y la tortuga, planteada por el filósofo Zenón de Elea en el siglo V antes de Cristo. En ella, narraba una carrera entre Aquiles y una tortuga. El primero es más rápido, así que da cierta ventaja a la segunda. Cuando Aquiles echa a correr desde el punto A, la tortuga ya está en el punto B; cuando alcanza ese punto B, la otra ya ha llegado al punto C; él llega a esa posición, pero de nuevo la tortuga se ha adelantado y ha alcanzado el punto D. 

En esta persecución, argumentaba Zenón de Elea, Aquiles nunca ganaría a la tortuga, porque tendría que recorrer un número infinito de tramos finitos, algo imposible de hacer en un intervalo de tiempo finito. 

5. Finitismo, las matemáticas sin infinito

Leopold Kronecker, matemático alemán que vivió en el siglo XIX, era tremendamente escéptico con el modo en que se concebía y utilizaba el concepto de infinito en las matemáticas del siglo XVII y XVIII. Ese escepticismo terminó fraguando en una filosofía matemática llamada finitismo, una forma extrema de constructivismo según la cual un objeto matemático no existe si no puede ser construido a partir de números naturales. Como prueba de la relación histórica que ha habido entre las matemáticas y la teólogía, Kronecker resumió su opinón en la frase: "Dios creó los números naturales; el resto es obra del hombre". 

6. Distintos infinitos

El matemático alemán Georg Cantor dedicó gran parte de su trabajo a finales del siglo XIX a estudiar el concepto del infinito y de los distintos infinitos. Cantor planteó un modo para construir los conjuntos numéricos y después establecer  el concepto de infinito. Para ello, definió que dos conjuntos tienen el mismo número de elementos, o la misma cardinalidad, si existe una función que relacione cada elemento de uno de esos conjuntos con un solo elemento del otro, y viceversa.

Se supone que un subconjunto siempre tendrá menos elementos que el conjunto al que pertenece. Esto es así en los conjuntos finitos, pero no en los infinitos

Partiendo de esto, Cantor definió un conjunto como infinito cuando uno de sus subconjuntos tiene la misma cardinalidad. Esto parece una contradicción, puesto que se supone que un subconjunto siempre tendrá menos elementos que el conjunto al que pertenece. Esto es así en los conjuntos finitos, pero no en los infinitos, y aquí va un ejemplo: si relacionamos cada número par con un número natural (el primero es un subconjunto del segundo), podemos establecer que al 2 le corresponde el 1; al 4 le corresponde el 2; al 6 le corresponde el 3... Y así podríamos seguir sin llegar nunca al final.

7. ¿Hay unos infinitos mayores que otros?

Cantor comparó unos conjuntos numéricos con otros y determinó que hay unos infinitos mayores que otros. Comparó, por ejemplo el conjunto de los números naturales (1, 2, 3, 4,...) con el de los números reales (que incluyen los racionales, que se pueden representar como fracciones, y los irracionales, que no se pueden representar como fracciones), y concluyó que ambos son infinitos, pero este segundo es mayor, puesto que se pueden seguir añadiendo decimales sin fin, es decir, que no son numerables porque no se pueden relacionar, uno a uno, con los números naturales.

A pesar de que sus aportaciones fueron fundamentales para la teoría de los conjuntos abstractos, Cantor fue un incomprendido en su época: sus conclusiones fueron rechazadas por muchos de sus colegas, que le acusaron incluso de blasfemo, y padeció trastornos mentales que afectaron a su vida y su trabajo en sus últimos años.

8. Teorema del mono infinito

No es una broma, existe un teorema llamado así, que establece que un mono que pulsase teclas al azar en una máquina de escribir durante un tiempo infinito casi seguramente terminaría por escribir cualquier texto que se halle en la Biblioteca Nacional de Francia. 

Un mono tecleando un tiempo infinito podría escribir un texto de Shakespeare
Un mono tecleando un tiempo infinito podría escribir un texto de Shakespeare

Este teorema fue enunciado originalmente por el matemático francés Émile Borel en 1913. Él propuso que si un millón de monos mecanografiase diez horas al día era extremadamente improbable que produjesen algo parecido a los textos contenidos en una de las bibliotecas mejor aprovisionadas del mundo, y que aún así era aún menos probable que las leyes de la estadística no se cumpliesen. 

9. El infinito en la física

La física trata de medir las interacciones entre distintos elementos de la naturaleza, como el tiempo, el espacio, la energía o la materia y por tanto, su relación con el concepto del infinito es distinta que la que se utiliza en matemáticas. Los físicos utilizan el infinito en sus cálculos teóricos pero no tanto en las fórmulas con las que tratan de describir fenómenos concretos, ya que se cree que, salvo excepciones puntuales como los agujeros negros, ningún objeto tiene masa, energía o espacio infinitos.

Por ejemplo: si existiese un objeto con infinita masa gravitacional, al intentar utilizar cualquier fórmula para medir su fuerza gravitatoria, el resultado sería siempre infinito, de forma que sería inútil para determinar la posición o la masa del objeto, para calcular las fuerzas con otro objeto o para describir sus movimientos. Si existiese un objeto con masa infinita, cualquier objeto con masa finita se vería atraído hacia él con infinita fuerza, algo que no se observa en la realidad.

Eso no significa que el infinito no se utilice en física, y que no sea muy útil. Por un lado, es conveniente en muchos cálculos y teorías, donde se emplean series infinitas o funciones que incluyen el concepto de infinito. Por otro, cuando el resultado de calcular una magnitud física es infinito, puede ser una señal de que la teoría o el método de cálculo que se está utilizando fallan o están a punto de fallar. 

10. NaN (Not a Number)

La expresión NaN significa Not a Number (no es un número) y cómo responden algunos lenguajes de programación a cálculos imposibles de realizar, como las raíces negativas o, por ejemplo, cero dividido entre cero. 

No hay forma de responder con sentido a la pregunta '¿Cuánto es cero multiplicado por infinito?', así que la única respuesta es que no es un número

Si antes contábamos que en el colegio nos enseñan que uno dividido entre cero es igual a infinito, para estas máquinas, el resultado será igual a NaN, es decir, que no es un número. Lo mismo ocurrirá con cualquier otro número que queramos dividir entre cero. El matemático aplicado John Gustafson recoge en esta entrada en Quora algunas curiosidades entorno a NaN y el infinito para los ordenadores. Por ejemplo, cuenta, infinito menos infinito es igual a NaN, y lo mismo ocurre si tratas de calcular el resultado de infinito menos la mitad de infinito. 

"Cero veces infinito es NaN. Lo intentes como lo intentes, no hay forma de responder con sentido a la pregunta '¿Cuánto es cero multiplicado por infinito?', así que la única respuesta es que no es un número", explica Gustafson.

Este artículo ha sido editado para puntualizar una información confusa respecto al trabajo de Georg Cantor y la cardinalidad de los números naturales y los números reales.

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