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Cómo un concejal francés 'troleó' a la comunidad matemática durante 358 años
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resuelto en 1994

Cómo un concejal francés 'troleó' a la comunidad matemática durante 358 años

Pierre de Fermat propuso en 1637 un teorema que se creyó sin solución durante más de tres siglos, hasta que un matemático británico, trabajando en secreto durante 6 años, consiguió resolverlo

Foto: Pierre de Fermat, el autor del teorema (Wikimedia/ Rolland Lefebvre)
Pierre de Fermat, el autor del teorema (Wikimedia/ Rolland Lefebvre)

"Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados y, en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He descubierto una prueba maravillosa de que esto es así, pero el margen de este libro es demasiado pequeño como para escribirla". Así enunció el político francés y matemático autodidacta Pierre de Fermat su famoso 'Último Teorema de Fermat' alrededor de 1637, escribiendo dicha frase en el margen de su ejemplar de Arithmetica, uno de los libros más importantes de esta disciplina, escrito alrededor del año 250 D.C. por el matemático griego Diofanto de Alejandría.

A lo que se refería el que fue concejal de Toulouse desde 1630 hasta su muerte en 1665 era algo mucho más simple que lo que el enunciado da a entender: no existen números a, b y c que cumplan an+bn=cn siempre y cuando 'n' sea un número natural superior a 2 (si n es 1 o 2, existen soluciones infinitas a este problema). A primera vista, se trata de una ecuación sencilla, sin mucho misterio. A matemáticos bien formados no debería llevarles demasiado tiempo confirmar que esto es así (o desmentirlo), ¿no?

Andrew Wiles trabajó en secreto en el teorema durante 6 años, solo confiando en su esposa

La respuesta, curiosamente, es diametralmente opuesta a lo que cabría esperar: es tremendamente complicado. De hecho, en 3 siglos y medio, hemos tenido que inventar nuevos campos de las matemáticas para poder tener, siquiera, una mínima esperanza de resolver esta conjetura. Esto, como es lógico, hace que nos preguntemos si, como afirmaba Fermat en su enunciado, él había conseguido solucionarlo hace 385 años. En su libro 'Notas sobre el último Teorema de Fermat', el matemático holandés Alfred van der Poorten afirmaba que "la falta de una prueba escrita es significativa" y, además, cita a André Weil, un matemático francés, que decía que "Fermat se debió engañar a sí mismo con una idea inalcanzable".

Van der Poorten en su libro, además, explica que Fermat mantenía correspondencia con John Wallis, clérigo y matemático inglés; el polímata francés Marin Mersenne y el físico francés Blaise Pascal, a los que en ningún momento les comentó la respuesta a su teorema. De todos modos, aunque estos matemáticos sí sabían de la existencia de la teoría, la comunidad matemática lo descubrió en 1665, justo después de la muerte de Pierre de Fermat, cuando su hijo Clément-Samuel Fermat publicó una nueva edición de Arithmetica que incluía todas las notas de su padre.

placeholder El matemático Andrew Wiles en 1995.
El matemático Andrew Wiles en 1995.

Fue entonces cuando se le concedió el nombre oficial del 'Último Teorema de Fermat' y se comenzó, masivamente, a buscarle solución. Las primeras no se hicieron esperar. En un documento, el propio Fermat explicaba por qué cuando n=4, su regla se cumple.

En los siguientes años, cientos de matemáticos probaron la teoría para diferentes exponentes. Entre 1676 y 2011, 26 pruebas matemáticas sobre n=4 se probaron, entre las que destacan grandes nombres de las matemáticas como Leonhard Euler (que lo demostró en 1738) o David Hilbert (en 1897). Desde 1676 cada vez se encontró la confirmación del teorema para diferentes valores; primero para 4, pero luego para n=3, 5, 7, 6, 10, 14...

Con la llegada de la computación a mediados del siglo XX, se aplicó el poder de los ordenadores para descubrir cada vez más íntegros posibles (la idea, llegados a este punto, es que los únicos números capaces de desmentir la teoría eran los números primos -impares, claro, pues el 2 estaba excluido-). En 1954, Como explica en su libro '13 enseñanzas del Último Teorema de Fermat' el matemático brasileño Paulo Ribenboim, el matemático estadounidense Harry Vandiver utilizó ordenadores para probar el teorema para todos los números primos menores de 2.521. Este proceso continuó a lo largo de la última parte del siglo XX, hasta que en 1993 se había probado para todos los primos menores de 4 millones.

placeholder Sello checo conmemorativo del descubrimiento de Wiles.
Sello checo conmemorativo del descubrimiento de Wiles.

Pero como explica el matemático Joel David Hamkins, "la prueba de exponentes individuales, por su naturaleza, nunca podrán probar el caso general. Aunque seamos capaces de verificarlo hasta un exponente 'n' muy grande, siempre podrá haber alguno todavía mayor que desmienta la teoría. Esto ya ha pasado en el pasado con otras conjeturas". Dicho de otro modo, como es imposible comprobar el teorema hasta el infinito, tenemos que buscar otra vía.

Eso se comenzó a lograr en 1955, cuando los matemáticos japoneses Goro Shimura y Yutaka Taniyama descubrieron una posible correlación entre dos ramas de las matemáticas que, hasta el momento, se consideraban completamente separadas: las curvas elípticas y las formas modulares. El resultado (al que ahora llamamos 'Teorema de la Modularidad' pero que originalmente era conocido como la 'conjetura de Taniyama-Shimura') se consideró como una propuesta interesante, pero en un primer momento parecía completamente desvinculada del 'Último Teorema de Fermat'. El problema, explica en un libro el matemático Simon Singh, era que "esta conjetura era considerada por los matemáticos contemporáneos como extraordinariamente difícil o directamente imposible de probar". De hecho, según el supervisor postdoctoral de Andrew Wiles (persona muy importante de la que hablaremos más adelante), "es imposible probar Teorema de Modularidad".

Foto: Foto: Instituto de Estudios Avanzados de Princeton.

Pero en 1984 el matemático alemán Gerhard Frey se dio cuenta de, en efecto, la Teoría de la Modularidad y el 'Último Teorema de Fermat' estaban vinculados, y que si uno era cierto, el otro, inevitablemente, también. El matemático Ken Ribet se dedicó desde 1984 hasta 1986 a probar parte del teorema de modularidad, en lo que obtuvo grandes éxitos (aunque no totales). Fue entonces cuando Andrew Wiles entró en escena. El matemático británico trabajó en secreto durante 6 años tratando de resolver el problema (y solo comentando sus avances a su esposa). Finalmente, en 1994, tras estar a punto de darse por vencido y, en un último vistazo a sus notas, descubrir una correlación, Wiles publicó su manuscrito 'Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem', en el que probaba gran parte el Teorema de la Modularidad (que fue finalmente resuelto en 1996) así como el 'Último Teorema de Fermat', 358 años después de ser propuesto.

Con este descubrimiento, Andrew Wiles no solo subió al olimpo de las matemáticas (ganó la Beca MacArthur; el Premio Frank Nelson Cole, otorgado por la American Mathematical Society; el premio Fermat o el Premio Abel -considerado el Nobel de las matemáticas-) sino que, además, ganó el premio Wolfskehl. Este consistía en un depósito de 100.000 marcos alemanes depositados por el médico alemán Paul Wolfskehl a mediados del siglo XIX en un banco de la localidad alemana de Darmstadt, y que serían otorgados a quien, finalmente, pudiera demostrar el 'Último Teorema de Fermat' debido a la fascinación que Wolfskehl sentía por este problema. Finalmente, debido a la inflación que siguió a la Primera Guerra Mundial, tan solo 30.000 libras fueron galardonadas a Wiles.

"Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados y, en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He descubierto una prueba maravillosa de que esto es así, pero el margen de este libro es demasiado pequeño como para escribirla". Así enunció el político francés y matemático autodidacta Pierre de Fermat su famoso 'Último Teorema de Fermat' alrededor de 1637, escribiendo dicha frase en el margen de su ejemplar de Arithmetica, uno de los libros más importantes de esta disciplina, escrito alrededor del año 250 D.C. por el matemático griego Diofanto de Alejandría.

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