Kurt Gödel, el matemático de las paradojas que 'hackeó' la Constitución americana
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La historia de un genio

Kurt Gödel, el matemático de las paradojas que 'hackeó' la Constitución americana

Este genio de la lógica cambió los fundamentos de las matemáticas con sus teoremas de la incompletitud, hasta el punto de hallar contradicciones en el seno de principios incuestionablemente democráticos

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Foto: Instituto de Estudios Avanzados de Princeton.

De entre todos los epitafios de personajes célebres de la historia, sin duda uno de los que más destaca es el del matemático alemán David Hilbert sobre su tumba en el camposanto de Göttingen: "Debemos saber, sabremos". Esta frase sintetiza a la perfección la corriente matemática que él mismo abanderó a comienzos del siglo XX, el formalismo, cuya pretensión era demostrar a partir de la filosofía que las matemáticas tenían unas bases sólidas y completamente lógicas. En aquella época, esta disciplina atravesaba una crisis de fundamentos, pues se había puesto en duda la consistencia de los axiomas, es decir, la posibilidad de hallar contradicciones en un enunciado formal. Las paradojas existentes en diversos enunciados lógicos y semánticos habían puesto en tela de juicio que los sistemas matemáticos, centrados en las leyes aritméticas de Peano para definir los números naturales, pudieran tener un carácter absoluto y ser infalibles a la hora de resolver problemas lógicos.

Pero un joven matemático austríaco de tan solo 23 años emigrado de la Alemania nazi llamado Kurt Gödel vino a desmontar su teoría, cambiando el rumbo de las matemáticas para siempre y, a su vez, estableciendo los principios de la computación moderna. Incluso, fue capaz de ver contradicciones lógicas en la propia Constitución estadounidense, como veremos más adelante, argumentando que esta no protegía de la hipotética llegada al poder de un partido fascista y encontrando así un gran fallo lógico en su propósito de funcionar como el mayor instrumento legal y político para prevenir a la sociedad de situaciones tan traumáticas como las acontecidas en su Austria natal cuando se desencadenó la Segunda Guerra Mundial.

"Podía demostrar, de un modo perfectamente legal, que era posible que alguien se convirtiera en dictador y estableciera un régimen fascista en Estados Unidos"

Gödel presentó en tan solo once páginas (cuando las teorías formalistas de Hilbert llegaron a ocuparle más de 700) sus teoremas de la incompletitud, publicados en 1931 después de finalizar su doctorado en la Universidad de Viena. Este refutó el famoso Programa de Hilbert al corroborar que sea cual sea el sistema matemático definido, si no existen contradicciones en él, es decir, si es consistente, habrá enunciados que nunca podrán demostrarse ni verdaderos ni falsos. En otras palabras o resumiéndolo mucho, en cualquier sistema matemático formal, siempre habrá afirmaciones verdaderas que el propio sistema no puede demostrar, por lo que también es incompleto, algo que no pensaba Hilbert. Por ejemplo, en la frase "no hay prueba de que esta frase esté bien escrita"; si existe prueba alguna, la frase es falsa al entrar en contradicción, pero por otro lado si no hay prueba alguna de que esté bien escrita, se trata de una afirmación verdadera que no se puede demostrar. Las matemáticas, por tanto, dejaron de ser 'decidibles', pasando a convertirse en una especie de laberinto plagado de bellas y potenciales paradojas.

En definitiva, hay enunciados que damos por verdaderos que nunca podremos demostrar. Estos teoremas de la incompletitud revolucionaron las matemáticas e inspiraron otras disciplinas como la teoría de juegos o la Máquina de Turing, a partir de la cual, el creador que lleva su nombre demostró que hay funciones matemáticas que son imposibles de calcular a pesar de implementar diversas y avanzadas consecuciones lógicas y algorítmicas. En ese sentido, la aportación más deslumbrante de Gödel al mundo de la lógica y las matemáticas es que la mente humana tiene una cualidad especial que no puede ser imitada por los ordenadores: tal vez el hecho de desenvolvernos de manera lógica y funcional a partir de paradojas, es decir, saber resolver problemas lógicos a pesar de que estos estén plagados de contradicciones.

El 'Señor Por Qué'

Al margen de los revolucionarios hallazgos de Gödel, cabe detenerse en su figura y en diversos episodios biográficos que, además, sirven de contrapunto a sus teorías lógicas. Como mencionamos anteriormente, el joven austríaco era un prodigio de la filosofía y las matemáticas que ingresó a los 18 años en la Universidad de Viena, rodeándose del prolífico ambiente intelectual austríaco de comienzos de siglo. Cuando era pequeño, sus padres le llamaban 'Señor Por qué' ("Herr Warum", en alemán), debido a su extrema curiosidad. En 1930 publicó su tesis doctoral por la que consiguió el respeto y la devoción de sus maestros y colegas. Todo cambió tres años después, cuando Adolf Hitler ascendió al poder. La irrupción del nazismo le llevó a abandonar el país y recalar en Estados Unidos, donde conoció a quien es uno de los mayores genios de la historia de la humanidad: Albert Einstein.

placeholder El joven Kurt Gödel, en 1925. (Wikipedia)
El joven Kurt Gödel, en 1925. (Wikipedia)

A lo largo de la década de 1930, Gödel se hizo un hueco como miembro y profesor en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Su cerebro privilegiado, su hambre intelectual y su facilidad para resolver problemas lógicos que a día de hoy siguen resultando tan difíciles de comprender contrastaban con su parte más emocional, la cual estaba sumida en la paranoia y en una pronunciada depresión. De hecho, se cree que el detonante de sus trastornos mentales fue el asesinato de uno de sus colegas de la Universidad de Viena, el profesor Moritz Schlick, a manos de un estudiante que más tarde se afilió al partido nazi. A partir de ese momento supo que debía salir del país en el que creció antes de que se produjera el Anschluss (la fusión de Austria y Alemania ocurrida en 1938) que precipitó al mundo a la Segunda Guerra Mundial.

El examen de Gödel

Una vez allí, estrechó una gran amistad con el genio Einstein y con el economista Oskar Morgenstern, quien influenciado por las teorías lógicas de Gödel, desarrolló más tarde la teoría de los juegos junto con John Von Neumann, que tuvieron un gran impacto en la economía moderna. Estos dos 'cerebritos' fueron los grandes valedores del austríaco para que fuera reconocido como ciudadano americano, pero antes tuvo que pasar un examen de ciudadanía en el que sucedió un episodio de lo más curioso: uno de los requisitos para pasar la prueba consistía en estudiar y conocer la Constitución de Estados Unidos. En vez de echarle un simple vistazo como cualquiera haría en su lugar, el matemático se lo tomó lo más en serio posible y se embarcó en un profundo análisis lógico de la Carta Magna.

Gödel no quiso entrar en detalles y, presionado por sus amigos, se contuvo para no explicar cómo un tirano podría llegar al poder e instaurar un régimen fascista

Días antes de presentarse al examen, telefoneó a Morgenstern muy agitado. Al parecer, había encontrado varias contradicciones internas en la Constitución. "Podía demostrar, de un modo perfectamente legal, que era posible que alguien se convirtiera en dictador y estableciera un régimen fascista en Estados Unidos", recuerda su colega. Evidentemente, aquí entraban en juego los dos aspectos que más definían la personalidad de Gödel: sus grandes capacidades de análisis lógico y su paranoia, tal vez como consecuencia de los duros momentos que vivió en Austria cuando los nazis tomaron el poder.

Einstein y Morgenstern estaban muy preocupados de que su amigo no obtuviera la ciudadanía estadounidense debido a las contradicciones lógicas que encontraba en la Constitución, así que al día siguiente de presentarse ante el juez, un tal Philip Forman, le instaron para que no dijera absolutamente nada sobre las incongruencias encontradas en la Carta Magna, tal y como relata un reciente artículo del periodista Jim Holt en 'The Lingua Franca Magazine Mirror', cuya conversación que se extrae hemos interpretado así:

- Hasta ahora tenías la nacionalidad alemana-, señaló Forman.

- No, austríaca-, le corrigió Gödel.

-Bueno... sea como sea, estabas bajo una dictadura de lo más cruenta... afortunadamente, eso no podría pasar en América.

-Oh, al contrario -aseveró el matemático. -Eso podría pasar perfectamente y puedo demostrarlo.

El silencio hizo acto de presencia en la sala. Gödel finalmente no quiso entrar en más detalles y, presionado por sus amigos, se contuvo para no explicar punto por punto cómo creía él que un tirano podría llegar al poder e instaurar un régimen dictatorial. Forman quedó impresionado por la gran capacidad intelectual del austríaco, concediéndole finalmente la tan ansiada ciudadanía estadounidense.

La lógica del fascismo dentro del orden democrático

¿A qué se refería Gödel? ¿Cuál era el punto de la Constitución que facilitaba la llegada al poder de un partido fascista? Holt, el periodista que ha recuperado la anécdota, contactó con Laurence Tribe, un experto en derecho constitucional estadounidense que, además, también es un ducho en matemáticas. "Lo que podría haberle molestado fue el artículo V, el cual apenas pone férreas restricciones a cómo se podría modificar la Constitución", explica Tribe. "Podría haber interpretado que esto prueba que, siempre que se proponga y apruebe una modificación de forma prescrita, automáticamente pasaría a formar parte de la Carta Magna, incluso si esta eliminara las condiciones básicas y esenciales de una forma de gobierno republicana y no reconociera las protecciones de los derechos humanos".

"No fue raro que cayera en la desnutrición. Obsesionado con un presunto envenenamiento, dejó de comer durante varios períodos de tiempo"

Sin embargo, Tribe incide en que las falacias que más molestaron a Gödel del texto constitucional no eran las encontradas en los artículos escritos, sino la indudable fe que mostraba Forman en que gracias a la Constitución, el gobierno de Estados Unidos no acabaría derivando en un régimen fascista. De ahí se extrae, precisamente, su teorema de incompletitud: aquellos que creen férreamente en los principios lógicos que articulan y dan sustento a una Constitución, en este caso basados en el reparto de poderes y el respeto a los derechos humanos, son ingenuos al pensar que estos, por sí mismos, son inquebrantables. Es decir, aunque los fundamentos lógicos para desembocar en una Constitución sean verdaderos de facto y todo el mundo esté de acuerdo con ellos, eso no quiere decir que sean demostrables, puesto que en cualquier momento esas conclusiones lógicas que el texto constitucional propone pueden someterse a crítica o a contradicciones internas que la desestabilicen.

De hecho, el profesor e historiador español Antonio J. Durán asocia estas críticas lógicas a la Carta Magna estadounidense con el ascenso de líderes como Donald Trump en un inspirado texto publicado en 2016, poco antes de que el líder ganara las elecciones y llegara a la Casa Blanca. "¿Es Trump el problema o solo el síntoma de un sistma político con fallos ocultos?", se pregunta. "Hace casi 70 años, el lógico Kurt Gödel ya avisó sobre las posibles deficiencias de la Constitución americana". Durán incide en el lado oscuro de la personalidad de Gödel, pues como decíamos anteriormente, sufría de un trastorno paranoide de largo recorrido. "¿A qué habría que achacar estas presuntas contradicciones que Gödel encontró en la Constitución americana, y que podían conducir al país a una dictadura? ¿A la lógica o a la paranoia? Escuchando todo lo que ha dicho Trump a lo largo de esta campaña, y viendo como ha llegado al final con ciertas posibilidades de ganar, uno tiende a pensar que los vaticinios de Gödel se deben más a la lógica".

Muerte por una paradoja

Otra de las excentricidades del lógico austríaco era su relación con la comida, que acabó llevándole a la muerte. Son muchas las versiones biográficas sobre sus últimos días. Durán sostiene que estaba obsesionado con dos de las necesidades básicas que tenemos los seres humanos para sobrevivir: la nutrición y la defecación. Por ello, además de llevar una dieta excesivamente rigurosa a la que se atuvo y que describía en sus cuadernos durante los últimos treinta años de su vida, también era frecuente el consumo de laxantes o enemas para forzar las deposiciones. "No fue raro que cayera en la desnutrición", asevera el profesor. "Obsesionado con un presunto envenenamiento, dejó de comer durante varios períodos de tiempo en sus últimos años de vida. Murió de hambre, de un hambre autoimpuesta: según consta en su certificado de defunción, Gödel falleció de desnutrición e inanición como resultado de un trastorno de personalidad".

Foto: El escritor retratado al óleo por Christiaan Tonnis. (Wikimedia)

Sin embargo, hay otras teorías. Además de estar obsesionado con la demostración lógica a través de argumentos de una entidad superior sin asociarla a ninguna religión en particular, el agudo trastorno de paranoia que sufría le llevó a pensar que sus compañeros de Princeton intentaban envenarle. ¿Qué hizo para quedarse tranquilo? Ingerir solamente la comida que le preparaba su mujer. Por desgracia, esta fue ingresada en el hospital seis meses por una intervención médica, por lo que ya no pudo cocinar más.

Entonces, el 13 de enero de 1978, el genio de la lógica falleció cuando pesaba poco menos de 30 kilos, a causa de una tremenda paradoja: quería evitar la muerte por envenenamiento, por lo que solo se fiaba de lo que su mujer cocinaba; sin embargo, ese mismo razonamiento lógico fue lo que llevó a perder la vida que tanto deseaba mantener, por lo que podríamos decir que el teorema que cambió la historia de las matemáticas para siempre quedó de sobra demostrado. Aunque a simple vista no veamos contradicciones en muchos de nuestros razonamientos lógicos ("estos me quieren envenenar y si como me muero, por tanto no comeré"), eso no quiere decir que podamos demostrar que los enunciados son verdaderos o falsos ("no toda la comida está envenenada") o, como mucho útiles e inútiles ("si no como, me muero"). Más o menos lo que Thomas Pynchon expresaba en su novela 'El arco iris de gravedad': "Cuando todo parece que ha sido arreglado, cuando nada puede fallar o si quiera sorprendernos... algo lo hace".

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