Si eres capaz de resolver este problema, ganarás un millón de dólares

Hace 17 años y medio que el Instituto Clay de Matemáticas, una fundación sin ánimo de lucro con base en Cambridge, donde también se encuentra la universidad de Harvard, anunció los siete Problemas del Milenio. Se trata, según la organización, de “preguntas clásicas que nadie ha sido capaz de resolver”; el que logre la hazaña de encontrarles solución recibirá un millón de dólares por su aportación al conocimiento universal. Desde entonces, tan solo uno de estos problemas ha podido resolverse. Fue el de la conjetura Poincaré, resuelta por el matemático ruso Grigori Perelmán en el año 2010.

Lo mejor del asunto es que, a pesar de haber sido el único ganador en casi dos décadas, Perelmán decidió rechazar el dinero que le correspondía. “No quiero estar expuesto como un animal en el zoológico”, manifestó. “No soy un héroe de las matemáticas. Ni siquiera soy exitoso. Por eso no quiero que todo el mundo me mire”. No era el primer premio que rechazaba, por lo que la organización estadounidense no se sorprendió lo más mínimo. En realidad, Perelmán consideraba que, a pesar de haber resuelto el enigma, su contribución no fue mayor que la de otros matemáticos, como Richard Hamilton de la Universidad de Columbia. “Por decirlo brevemente, la razón principal es mi desacuerdo con la comunidad matemática organizada”, manifestó el petersburgués antes de dar un portazo imaginario.

En 1859, Riemann publicó su tesis doctoral 'Sobre el número de primos menores que una cantidad dada', un hit de la matemática decimonónica

Así que desde aquí animamos a nuestros lectores que sean capaces de demostrar de una vez por todas la hipótesis de Riemann que reconozcan el mérito de aquellos que le precedieron. O, al menos, que repartan el dinero o que lo destinen a una buena causa. Porque, desde luego, estamos seguros que si alguien es capaz de demostrar esta hipótesis, no va a tener demasiados problemas económicos. Este es uno de los seis problemas restantes por resolver, junto a la conjetura de Hodge, la teoría de Yang-Mills, P versus NP, las ecuaciones de Navier-Stokes, la conjetura de Birch y Swinnteron-Dyer; cada cual con un nombre más apasionante. Pero ¿en qué consiste?

La hipótesis de Riemann

Bernhard Riemann fue un matemático alemán que allanó el camino para el desarrollo de la relatividad general. En 1859 publicó su tesis doctoral 'Sobre el número de primos menores que una cantidad dada', un absoluto hitazo de la matemática decimonónica, en el que introdujo su gran aportación a la teoría de la matemática, la función zeta. Aquí, en el plano complejo (por si alguien quiere imprimírselo y colgarlo en su casa, que queda bonito):

En otras palabras, se trataba de una fórmula explícita que sirve para calcular la cantidad de números primos menores de un número dado. El problema se encuentra en que, como nadie se lo pidió par obtener el título de de doctor, nunca proporcionó una demostración. Y, de hecho, nadie ha sido capaz de encontrarla en el último siglo y medio, ni siquiera después de formar parte de los 23 problemas planteados por David Hilbert en el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París en 1900. Ni siquiera el profesor Opeyemi Enoch, de la Universidad Federal de Oye Ekiti en Nigeria, que afirmó haberlo conseguido hace apenas unos años. Sin embargo, el instituto Clay negó la mayor y recordó que aún se seguía buscando a alguien que fuese capaz de hacerlo.

Esta es la descripción del problema, tal y como la presenta el Instituto Clay:

“Algunos números tienen la propiedad especial de que no pueden ser expresados como el producto de dos números más pequeños. Por ejemplo, el 2, 3, 5, 7, etc. Estos números se denominan 'primos', y juegan un papel muy importante tanto en las matemáticas puras como en sus aplicaciones. La distribución de dichos números primos a lo largo de todos los números naturales no sigue ningún patrón determinado. Sin embargo, el matemático alemán G.F.B. Riemann (1826-1866) observó que la frecuencia de los números primos está relacionada de forma muy estrecha esta fórmula, llamada la función Zeta de Riemann.

ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s + ...

La hipótesis de Riemann asegura que todas las soluciones 'interesantes' de esta ecuación:

ζ(s) = 0

Caen en una línea vertical recta. Esto se ha comprobado para las primeras 10.000.000.000.000 soluciones. Una prueba que sea verdad para cada solución 'interesante' arrojaría luz sobre uno de los misterios que rodean a la distribución de los números primos”.

Por cierto, el tipo que verificó esos 10 trillones de soluciones era el matemático Xavier Gourdon, que lo hizo en 2004 utilizando el algoritmo de Odlyzko-Schönhage. Es lógico que se sienta sobrepasado, y aunque no vaya a resolver el problema (si lo ha hecho, escriba al articulista que firma esto y ya le llamará) quizá la siguiente imagen, en la que se aparecen representados los números primos del 1 al 100, pueda echarle una mano a la hora de entenderlo:

En resumidas cuentas, más allá de las complejas fórmulas matemáticas de Riemann, uno puede quedarse con la idea de que hay cierto patrón en la distancia que separa a los números primos –aquellos naturales que solo son divisibles por sí mismos y por el número uno–, pero aún no sabemos exactamente cuál. Los números naturales se expresan como potencias de números primos: es uno de los ejercicios más comunes en el colegio, cuando debemos factorizar el 4 como 2² o el 343 como 7³. Son infinitos, como demostró Euclides con su célebre teorema, que aparecía en la proposición 20 del libro XIX de 'Elementos'.

El problema se encuentra en que la manera de adivinar si un número es primo o no sigue siendo dividirlo por los números anteriores a él (con la salvedad de si termina en 0, 2, 4, 5, 6 u 8, pues los pares son siempre divisibles por 2 y el 5, por 5) o llegar hasta su raíz cuadrada. Algo sencillo cuando hablamos del 37, pero un poco más complicado si se trata del famoso número primo de 22 millones de cifras, nuestro amigo el 2^74.207.281 – 1 (el mayor número primo conocido) o el 73.393.133, que está formado a su vez por números todos ellos primos. Lo exótico (y bello) del asunto es que, cuanto mayores son los números, menos primos aparecen, pero estos nunca dejan de aparecer. Como recuerda un reportaje de 'Business Insider', “hay muchas evidencias de que la hipótesis es cierta, pero aún no disponemos de una prueba rigurosa”. ¿Te atreves?