Las ecuaciones más bellas de la historia de las matemáticas

Para los que no sabemos mucho de matemáticas avanzadas, mirar una ecuación compleja es ver un conjunto de símbolos (con muy poquitos números) sin sentido aparente. Para los que sí, en ellas puede haber elegancia y belleza. En esa ciencia cercana a la filosofía y hermanada con la física que son las matemáticas, todos los implicados sueñan con encontrar soluciones sencillas a problemas complejos utilizando métodos nuevos combinados con técnicas antiguas.

Muchos de los matemáticos que pasaron a la historia lo hicieron porque son autores de las ecuaciones más famosas y reconocidas de la historia, festejadas por los estudiosos de esta materia como auténticas obras de arte. Estas son algunas de esas fórmulas que maravillan a los matemáticos.

1. Pi

"Siempre le digo a mis alumnos que si esta fórmula no les quita el aliento es que no tienen alma", dice Chris Budd, profesor de la Universidad de Bath, en Reino Unido. Es una ecuación que todos aprendimos en el instituto: describe cómo la circunferencia de un círculo varía según su diámetro, con una relación igual a un número denominado Pi que equivale aproximadamente a 3,14. Con eso se describe la geometría del mundo y se hacen funcionar los GPS.

2. El teorema de Pitágoras

También un viejo conocido de todos los estudiantes, que describe la relación existente entre todos los lados de un triángulo rectángulo. De hecho, su enunciado, que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de ambos catetos, es posiblemente uno de los pocos conceptos matemáticos que prácticamente todos somos capaces de recitar y comprender. Además, es uno de los más demostrados, porque en la Edad Media se exigía una nueva demostración de este teorema para alcanzar el grado de 'Magíster matheseos'.

3. La identidad de Euler

Euler ha sido apodado el Mozart de las matemáticas por su genialidad pero también por su prolífico trabajo, del que deriva gran parte de las matemáticas modernas. Su ecuación más famosa es la llamada identidad de Euler, en la que reúne cinco de los números más utilizados: el 1, base de los demás números; el 0, el concepto de nada; pi, que define el círculo; e, subyacente al crecimiento exponencial, e i, el número imaginario que corresponde a la raíz cuadrada de -1.

Todos esos números tienen aplicaciones prácticas dentro de los campos de la comunicación, la energía, la navegación o la medicina entre muchas otras, pero eso no es todo. La identidad de Euler también contiene tres de las operaciones matemáticas más básicas: suma, multiplicación y exponenciación. En resumen, una fórmula sencilla a simple vista pero muy profunda en cuanto a implicaciones, que conecta una serie de componentes esenciales en apariencia no relacionados de forma muy concisa.

4. La fórmula de Riemann

Esta ecuación, ideada por el matemático alemán Bernhard Riemann en 1859, apasiona a los matemáticos porque es un paso adelante en el esfuerzo de entender los números primos, los bloques básicos sobre los que se asienta la aritmética. Son uno de los conceptos más importantes en el mundo matemático y aún así todavía falta mucho para entenderlos del todo.

La fórmula de Riemann permite calcular cuántos números primos hay por debajo de un número concreto, y revela que los primos están determinados por la llamada función zeta, que en principio no parece tener ninguna relación con los números primos. Y esa es también la razón de su belleza, que une dos conceptos en principio no relacionados de las matemáticas somo si hubiese un túnel hasta ahora secreto conectado entre ambos. Eso parece señalar que hay una regla superior que rige a los números primos, y matemáticos de todo el mundo tratan de encontrarla.

5. El teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo es la columna vertebral del método matemático del mismo nombre, y une dos ideas principales: el concepto de integración y el concepto de derivada. "En palabras sencillas, dice que el cambio neto de una cantidad continua (como la distancia recorrida al viajar) durante un periodo determinado de tiempo (la diferencia entre la hora de salida y la de llegada del viaje) es igual a la integran del ratio de cambio de esa cantidad (en este caso, la integran de la velocidad)", explica Melkana Brakalova-Trevithick, del departamento de Matemáticas de la Universidad de Fordham.

6. La ecuación de onda

La belleza de esta ecuación vuelve a ser su simplicidad y su elegancia, además de que es tremendamente útil. Se utiliza para describir cómo se propagan las ondas, desde las que se forman en el agua hasta las del sonido que viajan por el aire. Nació como el modelo de vibración de una simple cuerda de violín y creció hasta algo que se utiliza para estudiar un gran número de fenómenos, desde los terremotos hasta las prospecciones petrolíferas. Su relación con el sonido sirve para explicar cómo oyen nuestros oídos y por qué algunas combinaciones de sonido nos resultan agradables y otras chirriantes.

Es un ejemplo de cómo una idea matemática puramente teórica puede terminar teniendo aplicaciones prácticas en otras áreas.

7. El teorema de Bayes

Esta fórmula, desarrollada por el reverendo Thomas Bayes en el siglo XVIII, sirve para calcular cuál es la probabilidad de que un evento (A) sea cierto si otro evento relacionado (B) lo es. Sirve por tanto para revisar probabilidades ya calculadas cuando se tiene información nueva. Su interés no proviene tanto de su componente estético o su simpleza, sino de que es útil a la hora de tomar decisiones, y por ello se utiliza en campos como la inteligencia militar, la vigilancia e incluso el diseño de filtros para 'spam'.

8. Las ecuaciones del campo de Einstein

Esta ecuación, incluida en la teoría de la relatividad general de Einstein, cambió la forma en que se entendía la naturaleza y evolución del universo. Entre otras, introdujo la idea de que el tejido del espacio-tiempo es maleable y eso lo que origina la gravedad. No es que los objetos con mucha masa atraigan a los otros objetos, es que distorsionan el espacio-tiempo a su alrededor. "El espacio-tiempo le dice a la materia cómo moverse y la materia le dice al espacio-tiempo cómo curvarse", explica el físico John Wheeler.

Las ecuaciones de Einstein permite saber cómo ha cambiado el universo con el tiempo y echar un vistazo a sus primeros momentos de vida. Escritas en apenas un trozo de papel, parecen algo pequeño y sin importancia, pero desde que el físico publicó sus ecuaciones, estas han servido para predecir la existencia de los agujeros negros y de las ondas gravitacionales recientemente confirmadas, así como para inferir que el universo se expande. Esa es parte de su belleza, que contienen muchas predicciones que, hasta el momento, han demostrado ser ciertas.

9. La ecuación de Dirac

Esta ecuación fue formilada por el físico británico Paul Dirac en 1920 y es conocida y utilizada por el papel que jugó en el desarrollo de la física durante el siglo XX. Esta fórmula conectó dos importantes conceptos físicos: el de la mecánica cuántica, que describe el comportamiento de los objetos a muy pequeña escala, y el de la teoría especial de la relatividad de Einstein, que analiza cómo se comportan los objetos que se mueven a gran velocidad. Como resultado, la ecuación de Dirac describe cómo se comportan los electrones y otras partículas cuando se mueven a velocidades cercanas a la luz.

Elegante y simple, y con consecuencias en el campo de la física que su autor no pudo prever, la ecuación de Dirac fue el primer paso en un campo que nos ha dado el modelo estándar de la física de partículas y el bosón de Higgs entre otros. Además, ya predecía la existencia de la antimateria, algo que después se estudió en el universo.

10. El modelo estándar

Otra de las teorías que describen nuestra idea actual del universo es la del modelo estándar, que recoge el conjunto de partículas fundamentales de las que está hecho todo cuanto nos rodea, y cómo se relacionan entre sí. Esa teoría se puede condensar en una gran ecuación llamada lagrangiano del modelo estándar (bautizada así por el matemático y astrónomo francés del siglo XVII Joseph Louis Lagrange). Es una forma resumida de describir el comportamiento de todas las partículas elementales y las fuerzas observadas en el laboratorio hasta la fecha, a excepción de la gravedad, el único renglón suelto que queda por cuadrar.