El acertijo clásico del círculo suicida: ¿sobrevivirías?

Formas parte de un grupo de 41 rebeldes hebreos a principios de nuestra era. Habéis sido capturados por los romanos, que os han encerrado en una cueva, y tus compañeros se niegan a morir a manos del Imperio. Antes que dejaros matar, os suicidaréis.

Te muestras de acuerdo, valiente hasta las últimas consecuencias: formaréis un gran círculo humano. Todos están dispuestos a cumplir el acuerdo y no puedes decepcionarles. El primer voluntario matará al hombre situado a su izquierda. El siguiente en la misma dirección (el primero vivo a la izquierda) tendrá entonces el turno y matará al de su izquierda, y así sucesivamente. La luz se apagará para todos, sí, pero permanecerá vivo el espíritu de la rebelión. Esos puercos podrán ganar la batalla, pero no la guerra. O la guerra también, pero no irán al Cielo. Porque el Cielo existe seguro... ¿no?

Realidad y ficción

Veamos. Pensándolo bien, si los romanos fueran clementes, quizá tendrías alguna posibilidad. Después de todo, eres muy joven para morir. Quizá haya algún lugar de la mortífera rueda en el que podrías retrasar un poco el momento. ¿Y si resultaras el único superviviente? Libre de las miradas que te juzgarían (y del bulto) de los otros 40, quizá podrías esconderte, o negociar con el enemigo. A lo mejor no son tan infames, ¡hacen buenos acueductos!

Muchos matemáticos se han acercado al problema a lo largo de la historia: ¿hay una forma de averiguar cuál es el lugar correcto para sobrevivir hasta el final?

Aunque hemos fantaseado un poco, el fondo de la cuestión sucedió más o menos así en el año 67 d.C. Realmente hubo un asedio romano en el territorio del actual estado de Israel, en la ciudad de Yodfat. Lo cuenta Flavio Josefo, hombre de acción e historiador, caudillo de las rebeliones judías. Explicó a la posteridad una situación similar que se dio entre él y otros 40 hombres. En la versión referida por él, echaron a suertes quién acabaría con quién y cuando quedaron, casualmente, él y otro más, convenció al otro, amigo suyo, para que se entregaran. Con esa base, muchos matemáticos se han acercado al problema a lo largo de la historia: ¿hay una forma de averiguar, sea cual sea el número de rebeldes, cuál es el lugar indicado para sobrevivir hasta el final?

El canal de Youtube 'Numberphile' ('Numerófilo') ha dado una solución en vídeo por boca de Daniel Erman, matemático de la Universidad de Wisconsin-Madison. Erman ha estado buscando patrones con diferentes cantidades de soldados y ha encontrado una forma de salir vivo haya los que haya.

Te invitamos a probar con lápiz y papel e ir aumentando la cantidad, igual que este matemático en el vídeo (tiene subtítulos en inglés). Si lo haces verás que, siempre, en la primera vuelta todos los pares mueren. La primera conclusión entonces es que tienes que evitar estar en una posición par.

El problema es que, aunque seas impar (y por tanto "verdugo") en la primera vuelta, podrías ser víctima en la segunda. Por ejemplo, imagina que hay 5 y eres el 1: Tú matas a 2. 3 mata a 4. Y 5... te mata a ti.

Vamos a imaginar una situación muy sencilla de pensar y que nos conviene: ser el primero y, cuando acabe cada "vuelta", seguir siendo el
primero y que, además, el número total siga siendo par. ¿Por qué? Porque si el número es impar, el último te va a matar a ti, que eres el primero.

Un ejemplo en que mueres sería el siguiente:
Sois 6 y eres el 1.

Vuelta 1) 1 mata a 2, 3 mata a 4, 5 mata a 6. Quedan 1, 3 y 5.
Vuelta 2) 1 mata a 3, 5 mata a... 1. Vaya, estás muerto.

Si, por ejemplo, sois 8:

Vuelta 1) 1 mata a 2, 3 mata a 4, 5 mata a 6 y 7 mata a 8. Quedan 1, 3, 5 y 7.
Vuelta 2) 1 mata a 3, 5 mata a 7. Quedan 1 y 5.
Vuelta 3) 1 mata a 5. ¡Genial! Estás vivo.

Como en cada vuelta el número de gente se va a reducir a la mitad, la única forma de que el número de los supervivientes siga siendo par en cada ronda es que sea potencia de 2 (que se pueda obtener multiplicando por 2). Es decir, te valen 2 personas, 4 personas, 8 personas, 16 personas, etc. Por suerte, las potencias de 2 no se acaban.

En cada vuelta volverás a matar, y volverá a quedar un número par de gente. Bueno, en la última será impar, claro. Quedará uno. Quedarás tú

Si has visto el vídeo de YouTube quizá tengas tentaciones de replicar: "Pero el número de gente en el vídeo eran 41. Y además el señor ha dicho que yo tenía que ser el 19, no el 1". Ya. Hay veces que no tenemos, de partida, la situación ideal, y entonces debemos crearla. En otras palabras, tenemos que aplicar matemáticas.

Tú quieres (porque hemos explicado que quieres) ser el primero en un grupo de gente que sea potencia de dos. Pero no hace falta que lo seas desde el principio, basta con que lo seas en algún momento. Piensa que, como estás hablando en un círculo, cualquier momento puede ser "el principio" para ti. Menos si estás muerto. Entonces no.

Es decir, lo que tenemos que hacer es conseguir que llegue un momento en que:

1. Te toque matar a ti.
2. El número total de gente que quede sea potencia de 2.

En este caso tenemos 41 personas. Pero queremos que haya 32 cuando llegue tu turno. Porque 32 es potencia de 2 y es un número muy bonito (de hecho, es la potencia de 2 más grande menor que 41). Así que necesitamos que, cuanto te toque matar a ti, hayan muerto 9 personas.

Y, como solo van a morir los impares, necesitas que haya 18 personas antes que tú. Cuando llegue tu turno, quedarán 9. De hecho estarán, vivas:

• 9 personas con el cuchillo ensangrentado que iban "antes que tú".
• Tú.
• 22 personas que van después de ti.

Pero como esto es un círculo, esto es lo mismo que decir que estás:

• Tú.
• 31 personas que van después de ti.

Y has conseguido tu objetivo. En cada vuelta (o sea, cada vez que llegue hasta a ti otra vez el turno) volverás a matar, y en cada vuelta volverá a quedar un número par de gente. Bueno, en la última vuelta quedará un número impar, claro. Quedará uno. Quedarás tú.